Escreva a série binomial e determine o raio de convergência para as seguintes funções:
(1-3 x^3)^-1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série binomial de (1-3x^3)^-1/2 e o raio de convergência. O conteúdo é o Teorema Binomial Generalizado para expoentes não inteiros, e vamos precisar usar a fórmula
(1 - u)^alpha = sumn=0^infty binomalphan(-u)^n,
além da expressão de binomalphan em termos de fatoriais.

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula do binômio generalizado com alpha=-1/2 e u=3x^3. Isso dá
(1-3x^3)^-1/2 = sumn=0^infty binom-1/2n l(-3x^3r)^n

Passo 3

Precisamos da forma explícita de binom-1/2n. Usando
binom-1/2n = (-1/2)(-1/2-1)cdots(-1/2-n+1)n! = (-1)^n(2n)!2^2n(n!)^2,
substituímos na série.

Passo 4

Substituindo em (1-3x^3)^-1/2 temos
(1-3x^3)^-1/2 = sumn=0^infty (-1)^n (2n)!2^2n(n!)^2,(3x^3)^n = sumn=0^infty (2n)!2^2n(n!)^2,3^n x^3n

Passo 5

Para o raio de convergência, exigimos |3x^3|<1, ou seja
|x|^3 < 13 ,Longrightarrow, |x| < l(tfrac13r)^1/3

Resposta

A série binomial é
(1-3x^3)^-1/2 = sumn=0^infty (2n)!2^2n(n!)^2,3^n x^3n,
o raio de convergência é R = (1/3)^1/3.

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