Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(e) abaixo de z=y+e^x e acima da região do plano delimitada e compreendida entre x=0, x=1, y=0 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando integrais duplas, o volume do sólido abaixo da superfície z = y + e^x e acima da região plana R delimitada por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2. O conteúdo da matéria é cálculo de volume via integrais duplas, e vamos precisar montar a integral dupla de f(x,y)=y+e^x sobre R.

Passo 2

Montamos a integral iterada para o volume:
V = integral duplaR(y + e^x),dA = integralx=0^1 integraly=0^2 (y + e^x),dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=0^2(y + e^x),dy = integral0^2y,dy + integral0^2e^x,dy = l[tfracy^22r]0^2 + e^x,[y]0^2 = 2 + 2e^x

Passo 4

Agora integramos em x:
V = integral0^1 (2 + 2e^x),dx = integral0^12,dx + 2integral0^1e^x,dx = 2[x]0^1 + 2[e^x]0^1 = 2 + 2(e - 1) = 2e

Resposta

2e

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