Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se ela é convergente ou divergente. Vou listar claramente o que temos:
- Os termos são
. - Cada
para (pois para ).
A pergunta é: a soma infinita dessesconverge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?
Passo 2
Vou escolher um teste simples e direto: o teste da comparação (também chamado teste da comparação direta). Vou explicar o teste:
- Teste da comparação direta: Se
para todo a partir de algum e converge, então converge. Dually, se para todo a partir de algum e diverge, então diverge.
Vou comparar nossa série com uma série-series bem conhecida: - Série
: converge se, e somente se, . Para ela diverge.
Passo 3
Vamos construir a comparação. Note que para
vale
pois
. Portanto, para
,
Aqui eu usei explicitamente que peguei o dado
para
.
Passo 4
Agora aplico o teste da comparação usando a desigualdade do Passo 3:
- A série de referência é a
-series com :
Como
, essa
-series diverge (é um fato padrão: séries
divergem para
).
- Para
temos e os termos são não-negativos. Como a série diverge e para grandes, pelo teste da comparação (na forma contrária), a série também diverge.
Passo 5
Resumo do raciocínio lógico (passo-a-passo que dá para usar na prova):
- Identificar
e observar que para . - Notar que para
vale , então . - A série
é uma -series com , portanto diverge. - Como a série comparada diverge e seus termos são menores ou iguais aos termos da nossa série a partir de
, conclui-se que a série dada diverge.
Resposta
Divergente