Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}
e pergunta se ela é convergente ou divergente. Vou listar claramente o que temos:
  • Os termos são a_n=\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}}.
  • Cada a_n>0 para n\ge 2 (pois \ln n>0 para n\ge 2).
    A pergunta é: a soma infinita desses a_n converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?

Passo 2

Vou escolher um teste simples e direto: o teste da comparação (também chamado teste da comparação direta). Vou explicar o teste:
  • Teste da comparação direta: Se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum N e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Dually, se 0\le b_n\le a_n para todo n a partir de algum N e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
    Vou comparar nossa série com uma série p-series bem conhecida:
  • Série p: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Para p\le 1 ela diverge.

Passo 3

Vamos construir a comparação. Note que para n\ge 3 vale
\ln(n)\ge 1,
pois \ln 3>1. Portanto, para n\ge 3,
\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}\ge\frac{1}{\sqrt{n}}.
Aqui eu usei explicitamente que peguei o dado \ln(n)\ge1 para n\ge3.

Passo 4

Agora aplico o teste da comparação usando a desigualdade do Passo 3:
  • A série de referência é a p-series com p=\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
Como p=\tfrac{1}{2}\le 1, essa p-series diverge (é um fato padrão: séries 1/n^p divergem para p\le1).
  • Para n\ge 3 temos a_n\ge 1/\sqrt{n} e os termos são não-negativos. Como a série \sum 1/\sqrt{n} diverge e 1/\sqrt{n}\le a_n para n grandes, pelo teste da comparação (na forma contrária), a série \sum a_n também diverge.

Passo 5

Resumo do raciocínio lógico (passo-a-passo que dá para usar na prova):
  1. Identificar a_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt n} e observar que a_n\ge 0 para n\ge2.
  2. Notar que para n\ge3 vale \ln n\ge1, então \dfrac{\ln n}{\sqrt n}\ge \dfrac{1}{\sqrt n}.
  3. A série \sum \dfrac{1}{\sqrt n} é uma p-series com p=\tfrac{1}{2}\le1, portanto diverge.
  4. Como a série comparada diverge e seus termos são menores ou iguais aos termos da nossa série a partir de n=3, conclui-se que a série dada diverge.

Resposta

Divergente

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