Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
limitada mas não convergente.
Passo 1
O enunciado pede: dar uma sequência
que seja limitada mas não convergente.
Informações dadas / requisitos:
Informações dadas / requisitos:
- A sequência tem domínio
. - Precisa ser limitada: existe algum
tal que para todo . - Precisa NÃO ser convergente: não existe
tal que quando .
Passo 2
Definições rápidas e intuitivas (para garantir que a resposta faz sentido na prova).
Definição de sequência limitada:
Definição de convergência:
Se não existe tal
, a sequência não converge.
Passo 3
Escolha simples e padrão: considerar uma sequência que oscila entre dois valores fixos (por exemplo
e
). Intuição: se os termos só tomam os valores
ou
, a sequência é claramente limitada (os valores estão entre
e
), mas por oscilar entre dois valores diferentes ela não se estabiliza num único limite quando
.
Passo 4
Explicação da propriedade (sem usar notação final da fórmula nesta etapa):
- Boundedness (limitada): todos os termos valem
ou , então para todo ; logo pode tomar . - Falta de convergência: existem duas sub‑sequências (os termos nas posições pares e nas posições ímpares) que convergem a limites diferentes: uma sub‑sequência tende a
e a outra tende a . Como uma sequência só pode ter um limite se convergente, isso impede a convergência da sequência inteira.