Dê uma sequência a_{n} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} limitada mas não convergente.

Passo 1

O enunciado pede: dar uma sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} que seja limitada mas não convergente.
Informações dadas / requisitos:
  • A sequência tem domínio \mathbb{N}.
  • Precisa ser limitada: existe algum M>0 tal que |a_n|\le M para todo n.
  • Precisa NÃO ser convergente: não existe L\in\mathbb{R} tal que a_n\to L quando n\to\infty.

Passo 2

Definições rápidas e intuitivas (para garantir que a resposta faz sentido na prova).
Definição de sequência limitada:
\text{A sequência }(a_n)\text{ é limitada se } \exists M>0\\ \text{tal que}\\ |a_n|\le M\\ \forall n\in\mathbb{N}.êé
Definição de convergência:
\text{Dizemos }a_n\to L\text{ se para todo }\varepsilon>0\\ \exists N\\ \text{tal que}\\ |a_n-L|<\varepsilon\\ \forall n\ge N.
Se não existe tal L, a sequência não converge.

Passo 3

Escolha simples e padrão: considerar uma sequência que oscila entre dois valores fixos (por exemplo 1 e -1). Intuição: se os termos só tomam os valores 1 ou -1, a sequência é claramente limitada (os valores estão entre -1 e 1), mas por oscilar entre dois valores diferentes ela não se estabiliza num único limite quando n\to\infty.

Passo 4

Explicação da propriedade (sem usar notação final da fórmula nesta etapa):
  • Boundedness (limitada): todos os termos valem 1 ou -1, então |a_n|\le 1 para todo n; logo pode tomar M=1.
  • Falta de convergência: existem duas sub‑sequências (os termos nas posições pares e nas posições ímpares) que convergem a limites diferentes: uma sub‑sequência tende a 1 e a outra tende a -1. Como uma sequência só pode ter um limite se convergente, isso impede a convergência da sequência inteira.

Resposta

a_{n}=(-1)^{n}

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