[1,0 pts] Obtenha os trê três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
e use os mesmos para aproximar
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) obter os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
; (2) usar esses termos para aproximar
.
Informações dadas: a função é e o ponto onde queremos aproximar é
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vou lembrar a definição útil: a série de Maclaurin de uma função
é a série de Taylor centrada em
. Ela é dada por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(por exemplo
). Isso significa que para montar a série a gente precisa calcular as derivadas da função em
.
Passo 3
Aplicando isso a
: todas as derivadas de
são iguais a
. Logo, para todo
,
Portanto a série de Maclaurin de
é
Isto é a fórmula geral: cada termo é
.
Passo 4
Os três primeiros termos não nulos correspondem a
. Escrevendo-os:
Portanto os três primeiros termos não nulos são
Passo 5
Agora usamos esses termos para aproximar
. Substituindo
em cada termo e calculando passo a passo:
Somando os três termos:
Logo a aproximação pelo polinômio de grau 2 é
.
Passo 6
Breve comentário sobre o erro (para te deixar confiante): a forma de resto de Lagrange para Taylor diz que existe
entre
e
tal que, para o polinômio de grau
,
Como
temos
. Assim um limite simples para o erro em
é
Ou seja, o erro é menor que aproximadamente
, o que mostra que a aproximação
está correta até a terceira casa decimal.
Resposta
Os três primeiros termos não nulos:
Aproximação:
Aproximação: