[1,0 pts] Obtenha os trê três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de e^{x} e use os mesmos para aproximar e^{0,1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de e^{x}; (2) usar esses termos para aproximar e^{0{,}1}.
Informações dadas: a função é e^{x} e o ponto onde queremos aproximar é x=0{,}1.

Passo 2

Vou lembrar a definição útil: a série de Maclaurin de uma função f(x) é a série de Taylor centrada em 0. Ela é dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0, e n! é o fatorial de n (por exemplo 3!=6). Isso significa que para montar a série a gente precisa calcular as derivadas da função em 0.

Passo 3

Aplicando isso a f(x)=e^{x}: todas as derivadas de e^{x} são iguais a e^{x}. Logo, para todo n\ge0,
f^{(n)}(x)=e^{x}\quad\Rightarrow\quad f^{(n)}(0)=e^{0}=1.
Portanto a série de Maclaurin de e^{x} é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Isto é a fórmula geral: cada termo é \dfrac{x^{n}}{n!}.

Passo 4

Os três primeiros termos não nulos correspondem a n=0,1,2. Escrevendo-os:
\text{termo }n=0:\\ \frac{x^{0}}{0!}=1, \qquad \text{termo }n=1:\\ \frac{x^{1}}{1!}=x, \qquad \text{termo }n=2:\\ \frac{x^{2}}{2!}=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto os três primeiros termos não nulos são
1+x+\frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Agora usamos esses termos para aproximar e^{0{,}1}. Substituindo x=0{,}1 em cada termo e calculando passo a passo:
x=0{,}1,
x^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01,
\frac{x^{2}}{2}=\frac{0{,}01}{2}=0{,}005.
Somando os três termos:
1 + x + \frac{x^{2}}{2} = 1 + 0{,}1 + 0{,}005 = 1{,}105.
Logo a aproximação pelo polinômio de grau 2 é 1{,}105.

Passo 6

Breve comentário sobre o erro (para te deixar confiante): a forma de resto de Lagrange para Taylor diz que existe \xi entre 0 e x tal que, para o polinômio de grau 2,
R_{2}(x)=\frac{e^{\xi}x^{3}}{3!}=\frac{e^{\xi}x^{3}}{6}.
Como 0\le\xi\le0{,}1 temos e^{\xi}\le e^{0{,}1}<e. Assim um limite simples para o erro em x=0{,}1 é
R_{2}(0{,}1)\le e\cdot\frac{(0{,}1)^{3}}{6}=e\cdot\frac{0{,}001}{6}\approx 2{,}718\cdot0{,}0001667\approx 0{,}000453.
Ou seja, o erro é menor que aproximadamente 0{,}00045, o que mostra que a aproximação 1{,}105 está correta até a terceira casa decimal.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos: 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}
Aproximação: e^{0{,}1}\approx 1{,}105

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