Calcule S, onde x^2+y^2+z^2=a^2 o sólido limitado pelas duas esferas x^2+y^2+z^2=b^2 e 0, onde 4 pi ln (b / a). R. .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaS(x^2+y^2+z^2)^-3/2,dx,dy,dz no sólido S definido entre as esferas x^2+y^2+z^2=b^2 e x^2+y^2+z^2=a^2, com 0. O conteúdo envolve integrais triplas em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos x=rsinthetacosphi, y=rsinthetasinphi e z=rcostheta. Assim x^2+y^2+z^2=r^2 e dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi. A integrand (r^2)^-3/2=r^-3 multiplica o jacobiano, dando r^-3cdot r^2sintheta=r^-1sintheta.

Passo 3

A integral se separa em ângulos e raio:
integralphi=0^2pidphi,integraltheta=0^pisintheta,dtheta,integralr=b^ar^-1,dr
Para os ângulos, integral0^2pidphi=2pi e integral0^pisintheta,dtheta=2, resultando em fator angular 4pi.

Passo 4

A parte radial é integralb^ar^-1,dr=ln(a)-ln(b)=lnl(tfracabr). Multiplicando pelo fator angular 4pi obtemos
4pilnl(tfracabr)

Resposta

4piln(tfracab)

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