Escreva a série de Maclaurin que converge para cada uma das funções abaixo, para z na região convergência descrita.
exp (z) ;|z|;

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (caso especial de Taylor em torno de 0) da função exp(z), sabendo que ela deve convergir para todo z (isto é, |z|). O conteúdo envolvido é séries de Taylor/Maclaurin e o teste de convergência por coeficientes.

Passo 2

A série de Maclaurin de uma função analítica f(z) é dada pela fórmula
f(z)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,z^n
onde f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em zero.

Passo 3

No caso de f(z)=exp(z), todas as derivadas são iguais à própria função, ou seja, f^(n)(z)=exp(z). Portanto,
f^(n)(0)=exp(0)=1

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, obtemos
exp(z)=sumn=0^infty1n!,z^n

Passo 5

Para verificar a região de convergência, podemos usar o teste da raiz ou do quociente em séries de potências. Aqui, o quociente entre termos sucessivos é
|z^n+1/(n+1)!z^n/n!|=|z|n+1xrightarrow[ntoinfty]0
como isso tende a zero para todo z, a série converge em todo o plano complexo.

Resposta

exp(z)=sumn=0^inftyz^nn!,válido para todo zinCá

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