Escreva a série de Maclaurin que converge para cada uma das funções abaixo, para na região convergência descrita. ;
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (caso especial de Taylor em torno de 0) da função , sabendo que ela deve convergir para todo (isto é, ). O conteúdo envolvido é séries de Taylor/Maclaurin e o teste de convergência por coeficientes.
Passo 2
A série de Maclaurin de uma função analítica é dada pela fórmula
onde é a -ésima derivada de avaliada em zero.
Passo 3
No caso de , todas as derivadas são iguais à própria função, ou seja, . Portanto,
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, obtemos
Passo 5
Para verificar a região de convergência, podemos usar o teste da raiz ou do quociente em séries de potências. Aqui, o quociente entre termos sucessivos é
como isso tende a zero para todo z, a série converge em todo o plano complexo.