Prove as identidades abaixo.
sen^2(x)=1-cos (2 x)2

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica sin^2(x)=1-cos(2x)2. O conteúdo é identidades trigonométricas de ângulo duplo e vamos precisar usar a fórmula de cosseno de soma de ângulos e a relação fundamental sin^2(x)+cos^2(x)=1.

Passo 2

A fórmula de cosseno de soma de ângulos diz que cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b). Tomando a=b=x, obtemos a identidade de ângulo duplo:
cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)

Passo 3

Usamos agora a identidade fundamental sin^2(x)+cos^2(x)=1, que implica cos^2(x)=1-sin^2(x). Substituindo em cos(2x):
cos(2x)=(1-sin^2(x)) - sin^2(x)=1-2sin^2(x)

Passo 4

Isolamos sin^2(x) na equação cos(2x)=1-2sin^2(x). Primeiro subtraímos 1 e depois dividimos por -2:
sin^2(x)=1-cos(2x)2

Resposta

sin^2(x)=1-cos(2x)2

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