Sejam as seguintes matrizes nos itens abaixo. Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso positivo, encontre uma matriz D, diagonal e uma matriz P, tal que D=P^{-1} A P : A=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]
e pede para determinar se A é diagonalizável. Caso positivo, encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz P invertível tais que
D = P^{-1} A P.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é uma matriz 3\times3.
Deve-se verificar diagonalizabilidade e, se for possível, fornecer D e P.]
Passo 2
Observação útil sobre matrizes triangulares (aula rápida): se uma matriz é triangular (superior ou inferior), seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Isso vem do polinômio característico \det(A-\lambda I), que para matrizes triangulares é o produto dos termos diagonais (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots.
Aplicando isso a A, os autovalores são os elementos da diagonal:
Logo \lambda=3 tem multiplicidade algébrica 1 e \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Critério de diagonalizabilidade (explicação didática): uma matriz A é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por vetores próprios de A. Em termos práticos, para cada autovalor \lambda a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I)) deve ser igual à multiplicidade algébrica. Portanto, para \lambda=2 precisamos obter duas direções linearmente independentes de autovetores para que A seja diagonalizável (pois a multiplicidade algébrica é 2). Vou calcular as dimensões dos espaços próprios.
Passo 4
Calcular o espaço próprio de \lambda=3\). Resolvemos \((A-3I)v=0\). Primeiro escrevo \(A-3I\):
\[A-3I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, o sistema (A-3I)v=0 dá as equações:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x -1\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x +1\cdot y -1\cdot z = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos y=0\]. Substituindo na terceira, \(0 - z = 0 dá z=0. A primeira equação não impõe restrição sobre x, então x é livre. Assim os vetores próprios correspondentes a \lambda=3 são todos múltiplos de
A dimensão do espaço próprio de \lambda=3 (multiplicidade geométrica) é 1, que coincide com a multiplicidade algébrica 1.]
Passo 5
Calcular o espaço próprio de \lambda=2\). Escrevo \(A-2I\):
\[A-2I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, o sistema (A-2I)v=0 dá:
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] 0\cdot x +1\cdot y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Da terceira vem \(y=0. A segunda não impõe nada. Assim z é livre e os vetores próprios para \lambda=2 são todos múltiplos de
Portanto a dimensão do espaço próprio de \lambda=2 (multiplicidade geométrica) é 1, enquanto a multiplicidade algébrica é 2.]
Passo 6
Conclusão baseada nas multiplicidades: como para \lambda=2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), não existe uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3) formada por autovetores de A. Logo A não é diagonalizável. Em palavras simples: faltam autovetores independentes para preencher todos os lugares necessários na matriz diagonalizada (para o bloco correspondente a \lambda=2 seriam necessários dois autovetores independentes, mas só existe um).