Escreva o sistema linear em forma matricial.
\frac{d x}{d t}=x-y
\frac{d y}{d t}=x+2 z
$\frac{d z}{d t}=-x+z

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações diferenciais ordinárias e pede para escrevê-lo em forma matricial. As equações fornecidas são:
\frac{d x}{d t}=x-y
\frac{d y}{d t}=x+2 z
\frac{d z}{d t}=-x+z
O que precisa ser entregue: uma única equação matricial que represente esse sistema (ou seja, escrever o vetor das derivadas igual a uma matriz vezes o vetor das incógnitas).

Passo 2

Definir o vetor incógnita em forma coluna (isso é padrão para sistemas lineares). Vou chamar esse vetor de \mathbf{u}(t):
\mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix}.
A derivada do vetor é tomada componente a componente:
\frac{d}{dt}\mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}\dfrac{dx}{dt}\\[6pt]\dfrac{dy}{dt}\\[6pt]\dfrac{dz}{dt}\end{pmatrix}.]

Passo 3

A forma matricial linear homogênea padrão é
\frac{d}{dt}\mathbf{u}(t)=A\,\mathbf{u}(t),
onde A é uma matriz 3\times3 cujas entradas são os coeficientes de x,y,z aparecendo no lado direito de cada equação. Vou extrair os coeficientes linha a linha:
  • Na primeira equação \dfrac{dx}{dt}=x-y os coeficientes de x,y,z são 1,\,-1,\,0.
  • Na segunda equação \dfrac{dy}{dt}=x+2z os coeficientes de x,y,z são 1,\,0,\,2.
  • Na terceira equação \dfrac{dz}{dt}=-x+z os coeficientes de x,y,z são -1,\,0,\,1.

Passo 4

Montando a matriz A com essas linhas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando A pelo vetor \mathbf{u}(t) obtemos componente a componente exatamente os termos do lado direito do sistema:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot x + (-1)\cdot y + 0\cdot z\\[6pt]1\cdot x + 0\cdot y + 2\cdot z\\[6pt]-1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-y\\[6pt]x+2z\\[6pt]-x+z\end{pmatrix},
que coincide com o lado direito do sistema original.]

Resposta

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}]

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