Considere a função f(x)=2 x-1-\operatorname{sen}(x).
(a) Conclua a partir do teorema do valor intermediário que f possui pelo menos uma raiz.
(b) Use o teorema de Rolle para concluir que f possui exatamente uma raiz.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x-1-\operatorname{sen}(x) e pede duas coisas:
(a) Usar o Teorema do Valor Intermediário para concluir que f possui pelo menos uma raiz.
(b) Usar o Teorema de Rolle para concluir que f possui exatamente uma raiz.
Informações relevantes que temos do enunciado: a expressão explícita de f (logo seu domínio natural é todo \mathbb{R}) e que \operatorname{sen}(x) é a função seno.

Passo 2

Verificar propriedades básicas de f que usaremos nos teoremas. Vou mostrar que f é contínua e diferenciável em \mathbb{R}.
A função x\mapsto 2x-1 é polinomial (logo contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}). A função x\mapsto \operatorname{sen}(x) é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}. Soma e diferença de funções contínuas são contínuas, e soma e diferença de funções diferenciáveis são diferenciáveis. Portanto f é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}.
Além disso, a derivada de f é, calculando termo a termo,
f'(x)=2-\cos x.

Passo 3

Enunciado e ideia do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — explicando didaticamente:
O TVI diz: se g é contínua num intervalo fechado [a,b] e y é um número entre g(a) e g(b), então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=y. Em particular, se g(a) e g(b) têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe c\in(a,b) com g\text{(c)}=0.
Vamos aplicar isso a f escolhendo um intervalo simples onde vemos uma troca de sinal.

Passo 4

Calcular f em pontos convenientes e verificar troca de sinal:
Calculemos
f(0)=2\cdot 0-1-\operatorname{sen}(0)=-1-0=-1,
logo f(0)=-1<0.
Calculemos
f(1)=2\cdot 1-1-\operatorname{sen}(1)=1-\operatorname{sen}(1).
Sabemos que 1 está em (0,\tfrac{\pi}{2}), logo \operatorname{sen}(1)>0. Também \operatorname{sen}(1)<1 (porque seno atinge 1 apenas em \tfrac{\pi}{2}\approx1,5708>1). Portanto 1-\operatorname{sen}(1)>0, ou seja f(1)>0.
Como f(0)<0 e f(1)>0, temos uma troca de sinal em [0,1]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.
Isto responde a (a): existe pelo menos uma raiz de f (e inclusive sabemos que há uma raiz em (0,1)).

Passo 5

Enunciado e ideia do Teorema de Rolle — explicando didaticamente:
O Teorema de Rolle diz: se g é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e g(a)=g(b), então existe c\in(a,b) tal que g'\text{(c)}=0.
Vamos usar Rolle por contradição para mostrar que f não pode ter duas raízes distintas.

Passo 6

Argumento por contradição para mostrar unicidade:
Suponha, para obter contradição, que f tenha pelo menos duas raízes distintas; ou seja, existam a,b com a<b tais que f(a)=0 e f(b)=0. Como já verificamos, f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então as hipóteses de Rolle são satisfeitas. Pelo Teorema de Rolle existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=0.
Mas da expressão da derivada temos
f'\text{(c)}=2-\cos c=0\quad\Rightarrow\quad \cos c=2.
Isto é impossível porque a função cosseno satisfaz \cos c\in[-1,1] para todo c. Logo não existe c com \cos c=2. Assim chegamos a uma contradição com a suposição de que havia duas raízes distintas.
Portanto f não pode ter duas raízes distintas; isto significa que f tem no máximo uma raiz.

Passo 7

Conclusão final juntando as duas partes:
Do Passo 4 temos que f tem pelo menos uma raiz (existe uma em (0,1)). Do Passo 6 temos que f tem no máximo uma raiz. Combinando: f tem exatamente uma raiz.

Resposta

(a) Existe pelo menos uma raiz de f; por exemplo, existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.
(b) f possui exatamente uma raiz.

Exercícios relacionados