Considere a função
.
(a) Conclua a partir do teorema do valor intermediário que
possui pelo menos uma raiz.
(b) Use o teorema de Rolle para concluir que
possui exatamente uma raiz.
(a) Conclua a partir do teorema do valor intermediário que
(b) Use o teorema de Rolle para concluir que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) Usar o Teorema do Valor Intermediário para concluir que possui pelo menos uma raiz.
(b) Usar o Teorema de Rolle para concluir que possui exatamente uma raiz.
Informações relevantes que temos do enunciado: a expressão explícita de (logo seu domínio natural é todo
) e que
é a função seno.
(a) Usar o Teorema do Valor Intermediário para concluir que
(b) Usar o Teorema de Rolle para concluir que
Informações relevantes que temos do enunciado: a expressão explícita de
Passo 2
Verificar propriedades básicas de
que usaremos nos teoremas. Vou mostrar que
é contínua e diferenciável em
.
A função é polinomial (logo contínua e diferenciável em todo
). A função
é contínua e diferenciável em todo
. Soma e diferença de funções contínuas são contínuas, e soma e diferença de funções diferenciáveis são diferenciáveis. Portanto
é contínua e diferenciável em todo
.
Além disso, a derivada de é, calculando termo a termo,
A função
Além disso, a derivada de
Passo 3
Enunciado e ideia do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — explicando didaticamente:
O TVI diz: se é contínua num intervalo fechado
e
é um número entre
e
, então existe
tal que
. Em particular, se
e
têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe
com
.
Vamos aplicar isso a escolhendo um intervalo simples onde vemos uma troca de sinal.
O TVI diz: se
Vamos aplicar isso a
Passo 4
Calcular
em pontos convenientes e verificar troca de sinal:
Calculemos
Calculemos
logo
.
Calculemos
Calculemos
Sabemos que
está em
, logo
. Também
(porque seno atinge
apenas em
). Portanto
, ou seja
.
Como e
, temos uma troca de sinal em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
tal que
.
Isto responde a (a): existe pelo menos uma raiz de (e inclusive sabemos que há uma raiz em
).
Como
Isto responde a (a): existe pelo menos uma raiz de
Passo 5
Enunciado e ideia do Teorema de Rolle — explicando didaticamente:
O Teorema de Rolle diz: se é contínua em
, diferenciável em
e
, então existe
tal que
.
Vamos usar Rolle por contradição para mostrar que não pode ter duas raízes distintas.
O Teorema de Rolle diz: se
Vamos usar Rolle por contradição para mostrar que
Passo 6
Argumento por contradição para mostrar unicidade:
Suponha, para obter contradição, que tenha pelo menos duas raízes distintas; ou seja, existam
com
tais que
e
. Como já verificamos,
é contínua em
e diferenciável em
, então as hipóteses de Rolle são satisfeitas. Pelo Teorema de Rolle existe
tal que
Suponha, para obter contradição, que
Mas da expressão da derivada temos
Isto é impossível porque a função cosseno satisfaz
para todo
. Logo não existe
com
. Assim chegamos a uma contradição com a suposição de que havia duas raízes distintas.
Portanto não pode ter duas raízes distintas; isto significa que
tem no máximo uma raiz.
Portanto
Passo 7
Conclusão final juntando as duas partes:
Do Passo 4 temos que tem pelo menos uma raiz (existe uma em
). Do Passo 6 temos que
tem no máximo uma raiz. Combinando:
tem exatamente uma raiz.
Do Passo 4 temos que
Resposta
(a) Existe pelo menos uma raiz de
; por exemplo, existe
tal que
.
(b) possui exatamente uma raiz.
(b)