Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
r(phi, theta)=(3 sin phi cos theta, 3 sin phi sin theta, 3 cos phi), 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2 pi. Resp.: x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente transformar uma função vetorial em coordenadas cartesianas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial. Para resolver, a gente vai usar as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas, além de algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada componente da função vetorial dada:
r(phi, theta) = (3 sin phi cos theta, ; 3 sin phi sin theta, ; 3 cos phi)
Aqui, x = 3 sin phi cos theta , y = 3 sin phi sin theta e z = 3 cos phi .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar os parâmetros phi e theta para obter uma equação só em x , y e z . Para isso, vamos usar o fato de que:
sin^2 phi + cos^2 phi = 1
E também a identidade trigonométrica para cos^2 theta + sin^2 theta = 1 .

Passo 4

Vamos começar elevando ao quadrado cada uma das equações:
x = 3 sin phi cos theta Rightarrow x^29 = sin^2 phi cos^2 theta y = 3 sin phi sin theta Rightarrow y^29 = sin^2 phi sin^2 theta z = 3 cos phi Rightarrow z^29 = cos^2 phi

Passo 5

Agora, some as duas primeiras equações:
x^29 + y^29 = sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) = sin^2 phi
Então, temos:
x^29 + y^29 + z^29 = sin^2 phi + cos^2 phi = 1
Multiplicando tudo por 9:
x^2 + y^2 + z^2 = 9

Resposta

A superfície é uma esfera com equação x^2 + y^2 + z^2 = 9 .

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