Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
e
. Resp.:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial dada por
, onde
varia de 0 a
e
pode ser qualquer número real. O objetivo é transformar essa descrição vetorial em equações nas coordenadas cartesianas
. Para isso, vamos precisar usar trigonometria e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as componentes
e
da função vetorial:
Essas equações nos lembram as equações paramétricas de uma elipse, onde
é o parâmetro que varia de 0 a
.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
, precisamos usar a identidade trigonométrica básica:
Vamos isolar
e
das equações de
e
:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando, temos:
Essa é a equação cartesianas da elipse no plano
.
Passo 5
A componente
da função vetorial é simplesmente
, o que significa que
pode ser qualquer número real, ou seja, não há restrição para
. Isso indica que a superfície descreve uma elipse que se estende infinitamente ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície descrita é uma elipse com equação
e
pode ser qualquer número real, ou seja,
.