Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
r(u, v)=(3 cos u, 4 sin u, v), u in[0,2 pi] e v in R. Resp.: x^2 / 9+y^2 / 16=1 e z in R.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial dada por r(u, v) = (3 cos u, 4 sin u, v) , onde u varia de 0 a 2pi e v pode ser qualquer número real. O objetivo é transformar essa descrição vetorial em equações nas coordenadas cartesianas x, y, z . Para isso, vamos precisar usar trigonometria e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as componentes x e y da função vetorial:
x = 3 cos u
y = 4 sin u
Essas equações nos lembram as equações paramétricas de uma elipse, onde u é o parâmetro que varia de 0 a 2pi .

Passo 3

Para eliminar o parâmetro u e encontrar uma relação direta entre x e y , precisamos usar a identidade trigonométrica básica:
cos^2 u + sin^2 u = 1
Vamos isolar cos u e sin u das equações de x e y :
cos u = x3
sin u = y4

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
(x3)^2 + (y4)^2 = 1
Simplificando, temos:
x^29 + y^216 = 1
Essa é a equação cartesianas da elipse no plano xy .

Passo 5

A componente z da função vetorial é simplesmente z = v , o que significa que z pode ser qualquer número real, ou seja, não há restrição para z . Isso indica que a superfície descreve uma elipse que se estende infinitamente ao longo do eixo z .

Resposta

A superfície descrita é uma elipse com equação x^29 + y^216 = 1 e z pode ser qualquer número real, ou seja, z in R .

Exercícios relacionados