Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
r(u, v)=(u, v, 2-u), 0 <= u <= 1, -u <= v <= u.
Resp.:
l z+x=2, com x in[0,1], y in[-x, x]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial r(u, v) = (u, v, 2 - u) com os parâmetros u variando de 0 a 1 e v variando de -u a u. Nosso objetivo é escrever a superfície descrita por essa função usando coordenadas cartesianas, ou seja, em termos de x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações entre as componentes da função vetorial e as coordenadas cartesianas. A função r(u, v) = (u, v, 2 - u) nos dá:
x = u, y = v, z = 2 - u

Passo 3

Agora, queremos eliminar os parâmetros u e v para expressar z apenas em termos de x e y . Como x = u , podemos substituir u por x na expressão para z :
z = 2 - x
Isso nos dá uma relação direta entre z e x : z + x = 2 .

Passo 4

Em seguida, precisamos considerar as restrições dadas para u e v . Sabemos que:
0 <= u <= 1 e -u <= v <= u
Como x = u e y = v , substituímos essas relações:
0 <= x <= 1 e -x <= y <= x

Resposta

Assim, a superfície descrita pela função vetorial em coordenadas cartesianas é:
l z + x = 2, x in [0, 1], y in [-x, x]

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