Escreva todas as relações conhecidas entre r, m e n se A x=b tem
(a) nenhuma solução para algum b.
(b) infinitas soluções para todo b.
(c) exatamente uma solução para algum b, nenhuma solução para outro b.
(d) exatamente uma solução para todo b.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear Ax=b, em que A é uma matriz de dimensão mtimes n e posto (rank) igual a r. Queremos relacionar r, m e n nos quatro casos de existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Para que exista alguma b para a qual o sistema não tenha solução, basta que a imagem de A seja estritamente menor que R^m. Como dim(Im,A)=r, isso significa
r < m
Logo, no caso (a) a condição é
boxedr < m

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções para todo b, ele precisa ser sempre consistente (isto é, Im,A=R^m, ou seja r=m) e, ao mesmo tempo, ter espaço de solução não trivial (dimensão do núcleo > 0, ou seja n-r>0). Assim
r = m e r < n
No caso (b) a condição é
boxedr = m < n

Passo 4

Para ter exatamente uma solução para algum b, A deve ser injetora ( ker A=0), ou seja r=n. Para haver outro b sem solução, A não pode ser sobrejetora, isto é r<m. Assim
r = n e r < m
No caso (c) a condição é
boxedr = n < m

Passo 5

Para que haja exatamente uma solução para todo b, A precisa ser simultaneamente injetora e sobrejetora, isto é
r = n e r = m
No caso (d) a condição é
boxedr = m = n

Resposta

(a) ;r < m
(b) ;r = m < n
(c) ;r = n < m
(d) ;r = m = n

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