Escreva todas as relações conhecidas entre
e
se
tem
(a) nenhuma solução para algum
.
(b) infinitas soluções para todo
.
(c) exatamente uma solução para algum
, nenhuma solução para outro
.
(d) exatamente uma solução para todo
.
(a) nenhuma solução para algum
(b) infinitas soluções para todo
(c) exatamente uma solução para algum
(d) exatamente uma solução para todo
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear
, em que
é uma matriz de dimensão
e posto (rank) igual a
. Queremos relacionar
,
e
nos quatro casos de existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Para que exista alguma
para a qual o sistema não tenha solução, basta que a imagem de
seja estritamente menor que
. Como
, isso significa
Logo, no caso (a) a condição é
Passo 3
Para que o sistema tenha infinitas soluções para todo
, ele precisa ser sempre consistente (isto é,
, ou seja
) e, ao mesmo tempo, ter espaço de solução não trivial (dimensão do núcleo > 0, ou seja
). Assim
No caso (b) a condição é
Passo 4
Para ter exatamente uma solução para algum
,
deve ser injetora (
), ou seja
. Para haver outro
sem solução,
não pode ser sobrejetora, isto é
. Assim
No caso (c) a condição é
Passo 5
Para que haja exatamente uma solução para todo
,
precisa ser simultaneamente injetora e sobrejetora, isto é
No caso (d) a condição é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)