Dê exemplos de matrizes para as quais o número de soluções de é , independentemente de .
Passo 1
O enunciado pede exemplos de matrizes tais que, para todo vetor , o sistema
tenha infinitas soluções. Em álgebra linear, um sistema sobredeterminado (mais equações do que incógnitas) pode ser inconsistente para certos , mas um sistema subdeterminado (mais incógnitas do que equações) com posto maximal nas linhas é sempre consistente e tem grau de liberdade positivo, gerando infinitas soluções. Logo, precisamos de matrizes de dimensões com e posto igual a .
Passo 2
Escolhemos o caso mais simples: e . Defina
Aqui , que é igual ao número de linhas . Para qualquer , o sistema
é equivalente a e não impõe restrição em . Assim existe um parâmetro livre e, portanto, infinitas soluções.
Passo 3
Agora um exemplo com e . Tome
Temos . Para qualquer , o sistema
é equivalente a
sem restrição em , gerando novamente infinitas soluções.
Passo 4
Em geral, qualquer matriz de tamanho com e posto satisfaz:
As linhas de são independentes e geram , garantindo que seja sempre consistente.
O número de graus de liberdade é , logo há infinitas soluções.
Resposta
Exemplos concretos:
(a)
pois para todo o sistema tem e livre.
(b)
pois para todo temos , e livre.
(c) Qualquer matriz com e satisfaz a propriedade de ter infinitas soluções para todo .