Dê exemplos de matrizes A para as quais o número de soluções de A x=b é
infty, independentemente de b.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de matrizes A tais que, para todo vetor boldsymbol b, o sistema
Aboldsymbol x = boldsymbol b
tenha infinitas soluções. Em álgebra linear, um sistema sobredeterminado (mais equações do que incógnitas) pode ser inconsistente para certos boldsymbol b, mas um sistema subdeterminado (mais incógnitas do que equações) com posto maximal nas linhas é sempre consistente e tem grau de liberdade positivo, gerando infinitas soluções. Logo, precisamos de matrizes A de dimensões mtimes n com m<n e posto igual a m.

Passo 2

Escolhemos o caso mais simples: e . Defina
Aqui , que é igual ao número de linhas . Para qualquer , o sistema
é equivalente a e não impõe restrição em . Assim existe um parâmetro livre e, portanto, infinitas soluções.

Passo 3

Agora um exemplo com e . Tome
Temos . Para qualquer , o sistema
é equivalente a
sem restrição em , gerando novamente infinitas soluções.

Passo 4

Em geral, qualquer matriz de tamanho com e posto satisfaz:
  1. As linhas de são independentes e geram , garantindo que seja sempre consistente.
  2. O número de graus de liberdade é , logo há infinitas soluções.

Resposta

Exemplos concretos:
(a)
pois para todo o sistema tem e livre.
(b)
pois para todo temos , e livre.
(c) Qualquer matriz com e satisfaz a propriedade de ter infinitas soluções para todo .

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