Dê exemplos de matrizes A para as quais o número de soluções de A x=b é
0 ou infty, dependendo de b.

Passo 1

O enunciado quer exemplos de matrizes A em que o sistema
Ax = b
possa ter
– nenhuma solução para certos b,
– infinitas soluções para outros b.
O que vamos usar:
– Um sistema tem solução se, e somente se, b pertence ao espaço-coluna de A.
– Se rank(A)<n (número de incógnitas), então, quando existe solução, ela é infinita.

Passo 2

Escolhemos uma matriz 2times2 de posto 1, por exemplo
A = 1 & 2 2 & 4
Aqui rank(A)=1<2, e o espaço-coluna de A é
Col(A)=l(t,2t)mid tinRrsubsetR^2

Passo 3

Se
As equações são
mas a segunda é o dobro da primeira, logo só temos
Escolhendo , .

Passo 4

Se
As equações seriam
mas dobrando a primeira damos . Logo nenhuma solução.

Resposta

Um exemplo simples é
A = 1 & 2 2 & 4
Para b=(1,2)^T há infinitas soluções; para b=(1,3)^T não há solução.

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