Escreva, usando quantificadores, a frase “Todo número natural tem um sucessor.”
Agora, negue a afirmação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Escrever, usando quantificadores, a frase “Todo número natural tem um sucessor.”
- Negar a afirmação
real, (ou seja, a fórmula ).
Informações relevantes que temos:
- O domínio para a primeira frase é o conjunto dos números naturais
. - O domínio para a segunda afirmação é o conjunto dos números reais
. - Precisamos usar quantificadores
(para “todo”) e (para “existe”) de forma correta, e aplicar a regra de negação dos quantificadores.
Passo 2
Rápida revisão do significado dos quantificadores (com calma, sem pressa):
-
significa “para todo em , a propriedade vale”. -
significa “existe pelo menos um em tal que vale”.
Importante: a ordem dos quantificadores importa. Por exemplo,diz que para cada existe (possivelmente dependendo de ) algum satisfazendo ; já diz que existe um único que funciona para todos os — ideias bem diferentes.
Passo 3
Formalizando “Todo número natural tem um sucessor.”
Primeiro explico duas maneiras comuns de representar “sucessor”:
- Usando a operação aritmética “mais 1”: o sucessor de
é . - Usando um símbolo de função sucessor, por exemplo
, típico em axiomas de Peano.
Ambas as formalizações equivalem na intenção. Escrevo as duas formas (cada forma é uma sentença lógica correta):
Forma com adição:
Forma com função sucessor
:
Explicação do que cada parte significa:
-
diz "para todo número natural ". -
diz "existe um número natural " — note que esse pode depender do (por isso o fica dentro do ). -
ou afirma que esse é exatamente o sucessor de .
Observação de erro comum: escrever
estaria errado — isso quer dizer "existe um
que é sucessor de todo
", o que é absurdo. Por isso a ordem
é a correta.
Passo 4
Negando a afirmação
.
Primeiro a regra geral de negação de quantificadores:
-
é logicamente equivalente a . -
é equivalente a .
Aplicando a regra ao caso dado, com
sendo “
”:
Agora simplificamos
. A negação de “
” é “
”. Portanto:
Outra forma equivalente, que deixa explícito zero e negativos, é:
Passo 5
Resumo prático (como lembrar na prova):
- Para formalizar “todo” use
e, se há um objeto que depende do anterior (como o sucessor), ponha dentro: . - Para negar
troque por e negue a propriedade: . - Sempre especifique o domínio (
ou ), porque muda tudo.
Vai dar certo — respira fundo e resolve uma questão de cada vez!