Escreva, usando quantificadores, a frase “Todo número natural tem um sucessor.”
Agora, negue a afirmação
\forall x \text { real, } x>0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Escrever, usando quantificadores, a frase “Todo número natural tem um sucessor.”
  • Negar a afirmação \forall x real, x>0 (ou seja, a fórmula \forall x\in\mathbb{R}\,(x>0)).
Informações relevantes que temos:
  • O domínio para a primeira frase é o conjunto dos números naturais \mathbb{N}.
  • O domínio para a segunda afirmação é o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
  • Precisamos usar quantificadores \forall (para “todo”) e \exists (para “existe”) de forma correta, e aplicar a regra de negação dos quantificadores.

Passo 2

Rápida revisão do significado dos quantificadores (com calma, sem pressa):
  • \forall x\in D\,P(x) significa “para todo x em D, a propriedade P(x) vale”.
  • \exists x\in D\,P(x) significa “existe pelo menos um x em D tal que P(x) vale”.
    Importante: a ordem dos quantificadores importa. Por exemplo, \forall n\,\exists m\,P(n,m) diz que para cada n existe (possivelmente dependendo de n) algum m satisfazendo P; já \exists m\,\forall n\,P(n,m) diz que existe um único m que funciona para todos os n — ideias bem diferentes.

Passo 3

Formalizando “Todo número natural tem um sucessor.”
Primeiro explico duas maneiras comuns de representar “sucessor”:
  • Usando a operação aritmética “mais 1”: o sucessor de n é n+1.
  • Usando um símbolo de função sucessor, por exemplo S(n), típico em axiomas de Peano.
Ambas as formalizações equivalem na intenção. Escrevo as duas formas (cada forma é uma sentença lógica correta):
Forma com adição:
\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}\,(m=n+1).
Forma com função sucessor S:
\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}\,(m=S(n)).
Explicação do que cada parte significa:
  • \forall n\in\mathbb{N} diz "para todo número natural n".
  • \exists m\in\mathbb{N} diz "existe um número natural m" — note que esse m pode depender do n (por isso o \exists fica dentro do \forall).
  • (m=n+1) ou (m=S(n)) afirma que esse m é exatamente o sucessor de n.
Observação de erro comum: escrever \exists m\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb{N}\,(m=n+1) estaria errado — isso quer dizer "existe um m que é sucessor de todo n", o que é absurdo. Por isso a ordem \forall n\,\exists m é a correta.

Passo 4

Negando a afirmação \forall x\in\mathbb{R}\,(x>0).
Primeiro a regra geral de negação de quantificadores:
  • \neg\big(\forall x\,P(x)\big) é logicamente equivalente a \exists x\,\neg P(x).
  • \neg\big(\exists x\,P(x)\big) é equivalente a \forall x\,\neg P(x).
Aplicando a regra ao caso dado, com P(x) sendo “ x>0”:
\neg\big(\forall x\in\mathbb{R}\,(x>0)\big) \equiv \exists x\in\mathbb{R}\,\neg(x>0).
Agora simplificamos \neg(x>0). A negação de “ x>0” é “ x\le 0”. Portanto:
\neg\big(\forall x\in\mathbb{R}\,(x>0)\big) \equiv \exists x\in\mathbb{R}\,(x\le 0).
Outra forma equivalente, que deixa explícito zero e negativos, é:
\exists x\in\mathbb{R}\,(x=0 \;\vee\; x<0).

Passo 5

Resumo prático (como lembrar na prova):
  • Para formalizar “todo” use \forall e, se há um objeto que depende do anterior (como o sucessor), ponha \exists dentro: \forall n\,\exists m\,....
  • Para negar \forall troque por \exists e negue a propriedade: \neg\forall \equiv \exists\neg.
  • Sempre especifique o domínio ( \mathbb{N} ou \mathbb{R}), porque muda tudo.
Vai dar certo — respira fundo e resolve uma questão de cada vez!

Resposta

\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}\,(m=n+1)
\exists x\in\mathbb{R}\,(x\le 0)

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