Escreva v como combinação linear dos vetores u1, u2 e u3 dados a seguir.
v=(1,5,4) e u1=(1,3,-2), u2=(2,7,-1), u3=(1,6,7).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor ,v=(1,5,4) como combinação linear dos vetores
,u1=(1,3,-2), ,u2=(2,7,-1) e ,u3=(1,6,7).
O conteúdo envolve combinação linear e resolução de sistema linear 3times 3.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,u1+b,u2+c,u3=v
Isso gera o sistema de equações para cada componente:
a + 2b + c = 1,
3a + 7b + 6c = 5,
-2a - b + 7c = 4

Passo 3

Da primeira equação isole a:
a = 1 - 2b - c

Passo 4

Substitua a em termos de b,c nas duas últimas equações.
Na segunda:
3(1-2b-c) + 7b + 6c = 5 ;Longrightarrow; 3 - 6b - 3c + 7b + 6c = 5 ;Longrightarrow; b + 3c = 2
Na terceira:
-2(1-2b-c) - b + 7c = 4 ;Longrightarrow; -2 +4b +2c - b +7c = 4 ;Longrightarrow; 3b +9c = 6 ;Longrightarrow; b + 3c = 2
As duas reduzem-se à mesma relação b+3c=2.

Passo 5

Temos, portanto, uma família de soluções com um parâmetro livre t, tomando c=t:
b = 2 - 3t, a = 1 - 2b - c = 1 - 2(2-3t) - t = -3 + 5t
Logo a solução geral é
v = (-3+5t),u1 + (2-3t),u2 + t,u3, tinR

Passo 6

Escolhendo, por exemplo, t=1, obtemos
a = 2, b = -1, c = 1,
isto é
v = 2,u1 - 1,u2 + 1,u3

Resposta

boxedv = 2,u1 - u2 + u3

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