Exercício 4

Seja A=|lll1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8| e B=|ccc-4 0 & 1 6 & x 1 3 & -5 & y 5 & -2 & z|, em que x, y e z são números reais.
a) Se possível, encontre valores x, y e z tais que A B=I3.
b) Calcule, se existir, a inversa da matriz A.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8 e B = -40 & 16 & x 13 & -5 & y 5 & -2 & z
e pede em (a) valores de x,y,z tais que
A,B = I3,
isto é, B = A^-1; em (b) quer a inversa de A. Para isso vamos calcular det(A), a matriz de cofatores, a adjunta e finalmente A^-1.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha,
det(A) =1cdotdet5&30&8 -2cdotdet2&31&8 +3cdotdet2&51&0
Cada menor vale
det5&30&8=5cdot8-3cdot0=40, det2&31&8=16-3=13, det2&51&0=0-5=-5
Logo
det(A)=1cdot40-2cdot13+3cdot(-5)=40-26-15=-1neq0,
logo A é invertível.

Passo 3

Calcular a matriz de cofatores de A. Denotando por Cij o cofator,
C = ;;40 & -13 & -5 -16 & ;;5 & ;;2 -9 & ;;3 & ;;1
A adjunta de A é adj(A)=C^T, ou seja
adj(A) = 40 & -16 & -9 -13 & 5 & 3 -5 & 2 & 1

Passo 4

Obter A^-1=dfracadj(A)det(A). Como det(A)=-1,
A^-1 =-,adj(A) = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1
Comparando com B, vemos que
x=9, y=-3, z=-1

Resposta

(a) x=9,;y=-3,;z=-1.
(b) A^-1 = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1

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