Escreva o vetor 0 in R^2 como combinação dos vetores:
v1=(1,3) e v2=(2,6).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos escrever o vetor zero em , que é , como uma combinação dos vetores e . Isso envolve conceitos de combinação linear na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar dois números (que vamos chamar de a cdot v1 + b cdot v2 = (0, 0) e ) que multiplicados pelos vetores e respectivamente, e depois somados, resultem no vetor zero. Ou seja:

Passo 3

Vamos substituir os vetores a cdot (1, 3) + b cdot (2, 6) = (0, 0) e (a cdot 1 + b cdot 2, , a cdot 3 + b cdot 6) = (0, 0) na equação:
Quando multiplicamos escalarmente os vetores, ficamos com:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores:
a + 2b = 0 3a + 6b = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Observamos que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 3:
3(a + 2b) = 3 cdot 0 3a + 6b = 0
Isso significa que as duas equações são equivalentes e que temos infinitas soluções. Podemos expressar a = -2b em termos de :

Passo 6

Escolhemos um valor para a = -2 cdot 1 = -2 para encontrar um par específico . Vamos supor que :

Passo 7

Agora, substituímos -2 cdot (1, 3) + 1 cdot (2, 6) = (-2, -6) + (2, 6) = (0, 0) e na combinação linear para verificar:
Funciona!

Resposta

Uma combinação que satisfaz a condição é -2 cdot 1 3 + 1 cdot 2 6 = 0 0 e . Portanto:

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