Verifique se os conjuntos são subespaços vetoriais do espaço dado em cada item.
W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; b=c=0\right. e \left.a+d=1\right\}, onde V=M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix};\\ b=c=0\\ \text{e}\\ a+d=1\right\}
é um subespaço vetorial do espaço V=M(2,2).
Informações dadas:
  • O espaço ambiente é V=M(2,2), o conjunto de todas as matrizes 2\times2 (sobre \mathbb{R}, assumindo o caso usual).
  • O conjunto W exige que as entradas fora da diagonal sejam nulas ( b=c=0) e que a soma dos elementos da diagonal seja 1 ( a+d=1).
    O que se deve responder: dizer se W é ou não subespaço de V e justificar passo a passo.]

Passo 2

Relembrando de maneira clara e simples o que significa ser subespaço vetorial: um subconjunto S\subset V é subespaço se e somente se
  1. S contém o vetor zero de V (no caso, a matriz zero 0_{2\times2});
  2. S é fechado para soma: se x,y\in S então x+y\in S;
  3. S é fechado para multiplicação escalar: se x\in S e \lambda é escalar, então \lambda x\in S.
Uma maneira prática: bastam verificar se o zero está em S e se S é fechado por combinação linear (ou verificar separadamente soma e multiplicação escalar). Se qualquer uma dessas condições falha, S não é subespaço.

Passo 3

Descrever a forma geral de um elemento de W. Como b=c=0 e a+d=1, qualquer M\in W tem a forma
M=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}\quad\text{com}\quad a+d=1.
Podemos escrever d=1-a, então
M=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & 1-a\end{pmatrix},
onde a\in\mathbb{R} é arbitrário. Com isso vemos que W não é vazio (por exemplo, a=1 dá uma matriz em W).]

Passo 4

Checar se o vetor zero (a matriz zero) pertence a W. A matriz zero é
0_{2\times2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Para pertencer a W a matriz deve satisfazer b=c=0 (ok) e a+d=1. No caso do zero temos a+d=0+0=0\neq1. Portanto
0_{2\times2}\notin W.
Como todo subespaço deve conter o vetor zero, isso já é suficiente para concluir que W não é subespaço de V.]

Passo 5

Para reforçar a ideia (e treinar para a prova), verifiquemos a falha de fechamento por soma com um exemplo explícito. Escolha duas matrizes em W:
M_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{(aqui \(a=1,\\ d=0\), logo \(a+d=1\))},
M_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{(aqui \(a=0,\\ d=1\), logo \(a+d=1\))}.
Ambas satisfazem as condições de W. A soma é
M_1+M_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Para pertencer a W essa soma deveria ter soma da diagonal igual a 1; aqui 1+1=2\neq1. Logo M_1+M_2\notin W. Portanto W não é fechado sob adição.]

Passo 6

Verificar também a falha de fechamento por multiplicação escalar (é um argumento curto e instructivo). Para M\in W temos \operatorname{tr}(M)=a+d=1. Se \lambda é um escalar, então
\operatorname{tr}(\lambda M)=\lambda\operatorname{tr}(M)=\lambda\cdot 1=\lambda.
Para que \lambda M\in W precisaríamos de \operatorname{tr}(\lambda M)=1, ou seja \lambda=1. Como isso não vale para todo escalar \lambda (por exemplo \lambda=0), a multiplicação escalar não preserva W. Em particular 0\cdot M=0_{2\times2}\notin W, já mostrando a falha.

Passo 7

Conclusão didática: já que o vetor zero não pertence a W e W falha em ser fechado tanto por soma quanto por multiplicação escalar, W não satisfaz as condições para ser subespaço vetorial de V. Uma maneira rápida para lembrar na prova: qualquer conjunto que impõe uma condição do tipo soma das componentes igual a um número fixo diferente de zero (aqui trace = 1) normalmente não é subespaço, porque o zero não satisfaz essa condição e porque somas e escalares mudam esse número.

Resposta

Não: W não é subespaço vetorial de V.

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