Verifique se os conjuntos são subespaços vetoriais do espaço dado em cada item.
e
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O espaço ambiente é
, o conjunto de todas as matrizes (sobre , assumindo o caso usual). - O conjunto
exige que as entradas fora da diagonal sejam nulas ( ) e que a soma dos elementos da diagonal seja ( ).
O que se deve responder: dizer seé ou não subespaço de e justificar passo a passo.]
Passo 2
Relembrando de maneira clara e simples o que significa ser subespaço vetorial: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
contém o vetor zero de (no caso, a matriz zero ); -
é fechado para soma: se então ; -
é fechado para multiplicação escalar: se e é escalar, então .
Uma maneira prática: bastam verificar se o zero está em
e se
é fechado por combinação linear (ou verificar separadamente soma e multiplicação escalar). Se qualquer uma dessas condições falha,
não é subespaço.
Passo 3
Descrever a forma geral de um elemento de
. Como
e
, qualquer
tem a forma
Podemos escrever
, então
onde
é arbitrário. Com isso vemos que
não é vazio (por exemplo,
dá uma matriz em
).]
Passo 4
Checar se o vetor zero (a matriz zero) pertence a
. A matriz zero é
Para pertencer a
a matriz deve satisfazer
(ok) e
. No caso do zero temos
. Portanto
Como todo subespaço deve conter o vetor zero, isso já é suficiente para concluir que
não é subespaço de
.]
Passo 5
Para reforçar a ideia (e treinar para a prova), verifiquemos a falha de fechamento por soma com um exemplo explícito. Escolha duas matrizes em
:
Ambas satisfazem as condições de
. A soma é
Para pertencer a
essa soma deveria ter soma da diagonal igual a
; aqui
. Logo
. Portanto
não é fechado sob adição.]
Passo 6
Verificar também a falha de fechamento por multiplicação escalar (é um argumento curto e instructivo). Para
temos
. Se
é um escalar, então
Para que
precisaríamos de
, ou seja
. Como isso não vale para todo escalar
(por exemplo
), a multiplicação escalar não preserva
. Em particular
, já mostrando a falha.
Passo 7
Conclusão didática: já que o vetor zero não pertence a
e
falha em ser fechado tanto por soma quanto por multiplicação escalar,
não satisfaz as condições para ser subespaço vetorial de
. Uma maneira rápida para lembrar na prova: qualquer conjunto que impõe uma condição do tipo soma das componentes igual a um número fixo diferente de zero (aqui trace = 1) normalmente não é subespaço, porque o zero não satisfaz essa condição e porque somas e escalares mudam esse número.
Resposta
Não:
não é subespaço vetorial de
.