Escreva o vetor 2-t+3 t^2 como combinação linear dos vetores v1=1+t, v2=1-t+ t^2 e v3=1-t^2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio p(t)=2 - t + 3t^2 como combinação linear dos vetores (polinômios)
v1=1+t, v2=1-t+t^2, v3=1-t^2
O que precisamos é encontrar escalares a,b,c tais que
a,v1+b,v2+c,v3=p(t)

Passo 2

Suponha que existam a,b,c satisfazendo
a(1+t)+b(1-t+t^2)+c(1-t^2)=2 - t + 3t^2

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de t, o lado esquerdo vira
a + a t + b - b t + b t^2 + c - c t^2 = (a+b+c) + (a - b),t + (b - c),t^2

Passo 4

Para ser igual a 2 - t + 3t^2, igualamos coeficientes de cada potência de t:
a + b + c = 2, a - b = -1, b - c = 3

Passo 5

Da segunda equação vem a = -1 + b. Da terceira, c = b - 3. Substituindo na primeira:
(-1 + b) + b + (b - 3) = 2 ;Longrightarrow;3b - 4 = 2 ;Longrightarrow;b = 2
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a = -1 + 2 = 1, c = 2 - 3 = -1

Resposta

2 - t + 3t^2 = 1cdot v1 + 2cdot v2 - 1cdot v3

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