Questão 5 (2 pontos). Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo A B C, no sistema O x y, dado que: M=(-2,6) é ponto médio de A B ; N=(10,8) é ponto médio de A C; e P=(0,-4) é ponto médio de B C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos médios de cada lado de um triângulo ABC no plano cartesiano:
M = (-2,6)é o ponto médio de AB, éé
N = (10,8)é o ponto médio de AC, éé
P = (0,-4)é o ponto médio de BC éé
O assunto é geometria analítica, usando a fórmula do ponto médio e um sistema de equações para encontrar as coordenadas dos vértices A, B e C.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas dos pontos médios em termos das coordenadas de A=(xA,yA), B=(xB,yB) e C=(xC,yC):
xA + xB = 2,xM,[6pt] yA + yB = 2,yM, xA + xC = 2,xN,[6pt] yA + yC = 2,yN, xB + xC = 2,xP,[6pt] yB + yC = 2,yP ]

Passo 3

Somando as três equações para as somas de abscissas temos
(xA + xB) + (xA + xC) + (xB + xC) = 2(xM + xN + xP)
O lado esquerdo é 2(xA+xB+xC), logo
xA + xB + xC = xM + xN + xP
Analogamente para as ordenadas:
yA + yB + yC = yM + yN + yP

Passo 4

Para isolar cada vértice, por exemplo A, subtraímos de A+B+C a soma B+C:
A = (A+B+C) - (B+C) = (M+N+P) - 2P = M + N - P
De modo análogo,
B = M + P - N, C = N + P - M

Passo 5

Substituindo M=(-2,6), N=(10,8) e P=(0,-4):
A = (-2,6) + (10,8) - (0,-4) = (8,18),
B = (-2,6) + (0,-4) - (10,8) = (-12,-6),
C = (10,8) + (0,-4) - (-2,6) = (12,-2)

Resposta

A=(8,18)
B=(-12,-6)
C=(12,-2)

Exercícios relacionados