Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
(a) tal que
(b) tal que
(c) tal que
(d) tal que
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) dada por .
(j) dada por .
(k) dada por .
(l) dada por .
(m) dada por .
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada caso, se a aplicação dada é uma transformação linear. O conteúdo principal é a definição de transformação linear entre espaços vetoriais: precisamos usar as propriedades de aditividade e homogeneidade (ou, de forma prática, checar se cada coordenada de T é uma forma linear das variáveis de entrada, sem termos constantes nem produtos ou funções não lineares).
Passo 2
Uma aplicação T é linear se, e somente se, satisfaz para todos os vetores u,v e todo escalar alpha:
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(alpha u)=alpha,T(u)
Equivalentemente, basta verificar que T(0)=0 e que cada componente de T é um polinômio de grau 1 (forma linear) nas variáveis de entrada, sem termo independente, sem potências maiores que 1, sem produtos entre variáveis e sem funções como exponencial.
Passo 3
Critério prático para cada aplicação:
– Calcular T(0). Se T(0)neq0, não é linear.
– Inspecionar as componentes: se aparecer constante independente das variáveis, produto de variáveis, potência maior que 1 ou função não linear (como 2^y), então não é linear. Caso cada coordenada seja algo da forma c1x1+cdots+cnxn, é linear.
Passo 4
Casos não lineares por conterem termos constantes ou não lineares:
(a) A primeira coordenada é 2x-1, tem termo constante -1, logo T(0)neq0. Não linear.
(d) Aparece o termo 2x^2 e o “+1”. Não é forma linear.
(e) As coordenadas 2^y e 2^z não são formas lineares e T(0,0,0)=(0,1,1)neq0. Não linear.
(f) A segunda coordenada é a constante a, então T(0)neq0 salvo se a=0. Em geral, não linear.
(i) A primeira coordenada é x^2, potência maior que 1. Não linear.
(j) A segunda coordenada é x+1, termo constante “+1”. Não linear.
(m) A entrada (4xy) é produto de duas variáveis. Não linear.
Passo 5
Casos lineares por serem combinações lineares das variáveis sem termos independentes:
(b) Projeção em z: ;S(x,y,z)=z é uma forma linear.
(c) Vetorização de matriz 2times2 resultando em (a11,a12,a21,a22): combinações triviais.
(g) (x-w,;y-w,;x+z) são formas lineares em (x,y,z,w).
(h) Extração dos elementos da diagonal (a11,a22,dots,ann) é linear.
(k) Cada coordenada (2y,3x,-y,x+y) é combinação linear de (x,y,z).
(l) Projeção (x,y,z,w)mapsto(y,z,w) é linear.
Resposta
(a) Não
(b) Sim
(c) Sim
(d) Não
(e) Não
(f) Não (exceto se a=0)
(g) Sim
(h) Sim
(i) Não
(j) Não
(k) Sim
(l) Sim
(m) Não