1. Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
    (a) T: R^3 R^4 tal que T(x, y, z)=(2 x-1, y, 2 y, z)
    (b) S: R^3 R tal que T(x, y, z)=z
    (c) T: M2 times 2 R^4 tal que T((ai j)i, j: 1^2)=(a11, a12, a21, a22)
    (d) T: R R tal que T(x)=2 x^2+1
    (e) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z)
    (f) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(3 x, a, 5 z)
    (g) T: R^4 R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, x+z)
    (h) T: M(n times n) longrightarrow R^n A([ai j])=(a11, a22, ldots, an n)
    (i) T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x^2, y).
    (j) T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x, x+1).
    (k) T: R^2 longrightarrow R^4 dada por T(x, y, z)=(2 y, 3 x,-y, x+y).
    (l) T: R^4 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z, w)=(y, z, w).
    (m) T: R^3 M2(R) dada por T(x, y, z)=(ccx+z & 3 y 4 x y & -z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada caso, se a aplicação dada é uma transformação linear. O conteúdo principal é a definição de transformação linear entre espaços vetoriais: precisamos usar as propriedades de aditividade e homogeneidade (ou, de forma prática, checar se cada coordenada de T é uma forma linear das variáveis de entrada, sem termos constantes nem produtos ou funções não lineares).

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, e somente se, satisfaz para todos os vetores u,v e todo escalar alpha:
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(alpha u)=alpha,T(u)
Equivalentemente, basta verificar que T(0)=0 e que cada componente de T é um polinômio de grau 1 (forma linear) nas variáveis de entrada, sem termo independente, sem potências maiores que 1, sem produtos entre variáveis e sem funções como exponencial.

Passo 3

Critério prático para cada aplicação:
– Calcular T(0). Se T(0)neq0, não é linear.
– Inspecionar as componentes: se aparecer constante independente das variáveis, produto de variáveis, potência maior que 1 ou função não linear (como 2^y), então não é linear. Caso cada coordenada seja algo da forma c1x1+cdots+cnxn, é linear.

Passo 4

Casos não lineares por conterem termos constantes ou não lineares:
(a) A primeira coordenada é 2x-1, tem termo constante -1, logo T(0)neq0. Não linear.
(d) Aparece o termo 2x^2 e o “ +1”. Não é forma linear.
(e) As coordenadas 2^y e 2^z não são formas lineares e T(0,0,0)=(0,1,1)neq0. Não linear.
(f) A segunda coordenada é a constante a, então T(0)neq0 salvo se a=0. Em geral, não linear.
(i) A primeira coordenada é x^2, potência maior que 1. Não linear.
(j) A segunda coordenada é x+1, termo constante “ +1”. Não linear.
(m) A entrada (4xy) é produto de duas variáveis. Não linear.

Passo 5

Casos lineares por serem combinações lineares das variáveis sem termos independentes:
(b) Projeção em z: ;S(x,y,z)=z é uma forma linear.
(c) Vetorização de matriz 2times2 resultando em (a11,a12,a21,a22): combinações triviais.
(g) (x-w,;y-w,;x+z) são formas lineares em (x,y,z,w).
(h) Extração dos elementos da diagonal (a11,a22,dots,ann) é linear.
(k) Cada coordenada (2y,3x,-y,x+y) é combinação linear de (x,y,z).
(l) Projeção (x,y,z,w)mapsto(y,z,w) é linear.

Resposta

(a) Não
(b) Sim
(c) Sim
(d) Não
(e) Não
(f) Não (exceto se a=0)
(g) Sim
(h) Sim
(i) Não
(j) Não
(k) Sim
(l) Sim
(m) Não

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