Sejam \alpha=\{(1,1,2),(0,1,1),(0,0,-1)\} e \beta=\{(1,2),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, respectivamente.
a) Se T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é definida por
T(x, y, z)=(x+y-z, y+z)
encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
b) Encontrar a lei de formação da transformação linear S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que [S]_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece as bases \alpha=\{a_{1}=(1,1,2),\,a_{2}=(0,1,1),\,a_{3}=(0,0,-1)\} de \mathbb{R}^{3} e \beta=\{b_{1}=(1,2),\,b_{2}=(0,1)\} de \mathbb{R}^{2}.
Na parte (a) define-se T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y,z)=(x+y-z,\;y+z)
e pede-se a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
Na parte (b) dá-se uma matriz [S]_{\alpha}^{\beta} e pede-se a lei de formação de S\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Para construir [T]_{\beta}^{\alpha}, calculamos T em cada vetor de \alpha:
T(a_{1})=T(1,1,2)=(1+1-2,\;1+2)=(0,3),
T(a_{2})=T(0,1,1)=(0+1-1,\;1+1)=(0,2),
T(a_{3})=T(0,0,-1)=(0+0+1,\;0-1)=(1,-1).

Passo 3

Expressamos cada imagem em coordenadas na base \beta. Se (u,v)=u\,b_{1}+v\,b_{2} com b_{1}=(1,2), b_{2}=(0,1), então
(u,v)=u\,(1,2)+v\,(0,1)=(u,2u+v).
Para (0,3) vem u=0,\;2\cdot0+v=3\implies v=3, ou seja [T(a_{1})]_{\beta}=(0,3).
Para (0,2) vem u=0,\;v=2, ou seja [T(a_{2})]_{\beta}=(0,2).
Para (1,-1) vem u=1,\;2\cdot1+v=-1\implies v=-3, ou seja [T(a_{3})]_{\beta}=(1,-3).

Passo 4

A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem colunas dadas por essas coordenadas:
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora, para S\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} com [S]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\\\ 2&1\end{pmatrix},
tomamos um vetorzinho genérico (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e o escrevemos em coordenadas \beta:
(x,y)=c_{1}\,b_{1}+c_{2}\,b_{2} \implies (x,y)=(c_{1},2c_{1}+c_{2})\,.
Igualando, c_{1}=x e 2x+c_{2}=y\implies c_{2}=y-2x.
Logo [\, (x,y)\,]_{\beta}=\begin{pmatrix}x\y-2x\end{pmatrix}.

Passo 6

Multiplicamos pela matriz dada para obter as coordenadas em \alpha:
[\,S(x,y)\,]_{\alpha} =\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\\\ 2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y-2x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+(y-2x)\\\\ -\,x+0\cdot(y-2x)\\\\ 2x+(y-2x) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y-x\\\\ -\,x\\\ y-0x \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y-x\\\\ -\,x\\\ y \end{pmatrix}.

Passo 7

Finalmente, convertemos estas coordenadas (y-x,\,-x,\,y) em combinação linear dos vetores de \alpha:
S(x,y)=(y-x)\,a_{1}+(-x)\,a_{2}+y\,a_{3}.
Mas para obter a forma canônica em \mathbb{R}^{3} basta somar:
S(x,y)=(y-x,\,y-2x,\,y-3x).

Resposta

(a)
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
(b)
S(x,y)=(\,y - x,\;y - 2x,\;y - 3x\,).

Exercícios relacionados