Sejam \alpha=\{(1,1,2),(0,1,1),(0,0,-1)\} e \beta=\{(1,2),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, respectivamente.
a) Se T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é definida por
T(x, y, z)=(x+y-z, y+z)
encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
b) Encontrar a lei de formação da transformação linear S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que [S]_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado fornece as bases \alpha=\{a_{1}=(1,1,2),\,a_{2}=(0,1,1),\,a_{3}=(0,0,-1)\} de \mathbb{R}^{3} e \beta=\{b_{1}=(1,2),\,b_{2}=(0,1)\} de \mathbb{R}^{2}.
Na parte (a) define-se T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y,z)=(x+y-z,\;y+z)
e pede-se a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
Na parte (b) dá-se uma matriz [S]_{\alpha}^{\beta} e pede-se a lei de formação de S\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Para construir [T]_{\beta}^{\alpha}, calculamos T em cada vetor de \alpha:
T(a_{1})=T(1,1,2)=(1+1-2,\;1+2)=(0,3),
T(a_{2})=T(0,1,1)=(0+1-1,\;1+1)=(0,2),
T(a_{3})=T(0,0,-1)=(0+0+1,\;0-1)=(1,-1).
Passo 3
Expressamos cada imagem em coordenadas na base \beta. Se (u,v)=u\,b_{1}+v\,b_{2} com b_{1}=(1,2), b_{2}=(0,1), então
(u,v)=u\,(1,2)+v\,(0,1)=(u,2u+v).
Para (0,3) vem u=0,\;2\cdot0+v=3\implies v=3, ou seja [T(a_{1})]_{\beta}=(0,3).
Para (0,2) vem u=0,\;v=2, ou seja [T(a_{2})]_{\beta}=(0,2).
Para (1,-1) vem u=1,\;2\cdot1+v=-1\implies v=-3, ou seja [T(a_{3})]_{\beta}=(1,-3).
Passo 4
A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem colunas dadas por essas coordenadas:
Agora, para S\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} com [S]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\\\ 2&1\end{pmatrix},
tomamos um vetorzinho genérico (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e o escrevemos em coordenadas \beta: