Escreve os vectores seguintes como combinações lineares de
\mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right], \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], \quad \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right].
\left[\begin{array}{c}-9 \\\\ -7 \\\\ -15\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vectores geradores e pede para escrever outro vector como combinação linear desses. Mais precisamente:
  • Vetores dados:
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
  • Vector que queremos representar:
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-9\\[4pt]-7\\[4pt]-15\end{pmatrix}.
Pergunta: encontrar escalares (coeficientes) a, b, c tais que
a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w}=\mathbf{b}.]

Passo 2

O que significa escrever \mathbf{b} como combinação linear de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}?
Explicação didática: dizer que existem números (reais) a,b,c com
a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w}=\mathbf{b}
é o mesmo que escrever equações por componentes. Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)^T, \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)^T, \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3)^T e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)^T, então a identidade acima equivale ao sistema linear
\begin{cases} a u_1 + b v_1 + c w_1 = b_1,\\[4pt] a u_2 + b v_2 + c w_2 = b_2,\\[4pt] a u_3 + b v_3 + c w_3 = b_3. \end{cases}
Aplicando aos valores dados obtemos o sistema correspondente.]

Passo 3

Escrevendo o sistema para os coeficientes a,b,c com os valores dos vectores:
\begin{cases} 2a + 1b + 3c = -9,\\[4pt] 1a - 1b + 2c = -7,\\[4pt] 4a + 3b + 5c = -15. \end{cases}
Vou resolver este sistema passo a passo usando substituição (método simples e que dá para fazer na prova sem calculadora).]

Passo 4

Isolo a na segunda equação porque tem coeficientes pequenos e fáceis:
a - b + 2c = -7 \quad\Rightarrow\quad a = -7 + b - 2c.
Agora substituo essa expressão de a nas outras duas equações para eliminar a.

Passo 5

Substituição na primeira equação:
2a + b + 3c = -9.
Substituindo a = -7 + b - 2c:
2(-7 + b - 2c) + b + 3c = -9.
Faço as contas passo a passo:
-14 + 2b -4c + b + 3c = -9,
-14 + 3b - c = -9.
Isolando os termos de b e c:
3b - c = 5. \tag{I}

Passo 6

Substituição na terceira equação:
4a + 3b + 5c = -15.
Substituindo a = -7 + b - 2c:
4(-7 + b - 2c) + 3b + 5c = -15.
Faço as contas:
-28 + 4b -8c + 3b + 5c = -15,
-28 + 7b -3c = -15.
Isolando:
7b - 3c = 13. \tag{II}

Passo 7

Agora resolvo o sistema de duas equações em b\) e \(c\) formado por (I) e (II): \[\begin{cases} 3b - c = 5,\\[4pt] 7b - 3c = 13. \end{cases}
Multiplico a primeira por 3\] para eliminar \(c ao subtrair:
9b - 3c = 15.
Subtraindo a segunda (II) dessa nova equação:
(9b-3c) - (7b-3c) = 15 - 13
2b = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 1.]

Passo 8

Com b=1 volto à equação (I) para achar c:
3b - c = 5 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 1 - c = 5,
3 - c = 5 \quad\Rightarrow\quad c = -2.

Passo 9

Agora volto para a expressão que eu tinha para a:
a = -7 + b - 2c.
Substituo b=1 e c=-2:
a = -7 + 1 - 2(-2) = -6 + 4 = -2.

Passo 10

Fiz as contas e obtive os coeficientes
a=-2,\qquad b=1,\qquad c=-2.
Sempre bom checar: computando a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w} com esses valores:
-2\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\\ -2\\\ -8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6\\\ -4\\\ -10\end{pmatrix}.
Somando componente a componente:
\begin{pmatrix}-4+1-6\\[4pt]-2-1-4\\[4pt]-8+3-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\[4pt]-7\\[4pt]-15\end{pmatrix},
que é exatamente \mathbf{b}. Verificação OK!]

Resposta

-2\mathbf{u}+\mathbf{v}-2\mathbf{w}

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