Quais dos seguintes vectores são combinações lineares de \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ -2 \\\\ 2\end{array}\right] e \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right] ?
a) \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pergunta: quais dos vetores abaixo são combinações lineares de \mathbf{u}=\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix} e \mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix} ?
a) \begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix}
b) \begin{bmatrix}0\\\ 4\\\ 5\end{bmatrix}
c) \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}
Informações dadas:
Os vetores geradores são \mathbf{u} e \mathbf{v} (cada um em \mathbb{R}^3).
Temos três vetores candidatos (a), (b) e (c) e precisamos dizer, para cada um, se existe escalares \alpha,\beta \in \mathbb{R} tais que \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} seja igual ao vetor em questão.
Passo 2
O que significa ser combinação linear (mini-aula): dizer que um vetor \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v} quer dizer que existem escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,\mathbf{u}+\beta\,\mathbf{v}=\mathbf{w}.
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos que vamos determinar. Se conseguirmos encontrar \alpha e \beta que satisfazem as três equações componentes, então \mathbf{w} é combinação linear; se não existir solução, então não é.
Passo 3
Vamos escrever as equações componentes para um vetor genérico \mathbf{w}=\begin{bmatrix}w_1\w_2\w_3\end{bmatrix}\). A igualdade
\[\alpha\,\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix}+\beta\,\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1\w_2\w_3\end{bmatrix}
gera o sistema (compondo componente a componente):
Aplicando a condição ao item (b): \mathbf{w}=\begin{bmatrix}0\\\ 4\\\ 5\end{bmatrix}.
Calcule 2w_1 - w_2 - w_3:
2\cdot 0 - 4 - 5 = -9 \neq 0.
A condição falha, logo (b) não é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Observação alternativa (para ver a contradição explicitamente): da primeira equação teríamos \beta=0. Então da segunda viria -2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = -2, e da terceira viria 2\alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 2,5, contradição entre -2 e 2,5.
a) Sim, é combinação linear; \alpha=2,\; \beta=2 (ou 2\mathbf{u}+2\mathbf{v}).
b) Não, não é combinação linear.
c) Sim, é combinação linear; \alpha=0,\; \beta=0.