Quais dos seguintes vectores são combinações lineares de \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ -2 \\\\ 2\end{array}\right] e \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right] ?
a) \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta: quais dos vetores abaixo são combinações lineares de \mathbf{u}=\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix} e \mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix} ?
a) \begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix}
b) \begin{bmatrix}0\\\ 4\\\ 5\end{bmatrix}
c) \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}
Informações dadas:
  • Os vetores geradores são \mathbf{u} e \mathbf{v} (cada um em \mathbb{R}^3).
  • Temos três vetores candidatos (a), (b) e (c) e precisamos dizer, para cada um, se existe escalares \alpha,\beta \in \mathbb{R} tais que \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} seja igual ao vetor em questão.

Passo 2

O que significa ser combinação linear (mini-aula): dizer que um vetor \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v} quer dizer que existem escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,\mathbf{u}+\beta\,\mathbf{v}=\mathbf{w}.
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos que vamos determinar. Se conseguirmos encontrar \alpha e \beta que satisfazem as três equações componentes, então \mathbf{w} é combinação linear; se não existir solução, então não é.

Passo 3

Vamos escrever as equações componentes para um vetor genérico \mathbf{w}=\begin{bmatrix}w_1\w_2\w_3\end{bmatrix}\). A igualdade \[\alpha\,\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix}+\beta\,\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1\w_2\w_3\end{bmatrix}
gera o sistema (compondo componente a componente):
\begin{cases} 0\cdot\alpha + 1\cdot\beta = w_1,\\[4pt] -2\alpha + 3\beta = w_2,\\[4pt] 2\alpha -1\beta = w_3. \end{cases}
Da primeira equação obtemos imediatamente
\beta=w_1.
Isso é uma boa simplificação porque o primeiro componente de \mathbf{u}\] é \(0 e o de \mathbf{v} é 1.]

Passo 4

Substituindo \beta=w_1 nas outras duas equações obtemos:
-2\alpha + 3w_1 = w_2
e
2\alpha - w_1 = w_3.
Agora isolamos \alpha em cada uma:
da primeira,
-2\alpha = w_2 - 3w_1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{3w_1 - w_2}{2},
da segunda,
2\alpha = w_3 + w_1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{w_3 + w_1}{2}.
Para que exista solução estas duas expressões para \alpha devem ser iguais. Igualando-as obtemos a condição de consistência:
\frac{3w_1 - w_2}{2} = \frac{w_3 + w_1}{2}
que simplifica (multiplicando por 2 e rearranjando) para
2w_1 - w_2 - w_3 = 0.
Conclusão útil (mini-aula): o vetor \mathbf{w} pertence ao span{ \mathbf{u},\mathbf{v}} se, e somente se, seus componentes satisfazem a condição
2w_1 - w_2 - w_3 = 0.
Se a condição for satisfeita, então \beta=w_1 e \alpha pode ser calculado por qualquer uma das fórmulas acima (são iguais).

Passo 5

Aplicando a condição ao item (a): \mathbf{w}=\begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix}.
Calcule 2w_1 - w_2 - w_3:
2\cdot 2 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0.
A condição é satisfeita, portanto (a) é combinação linear. Encontramos os coeficientes:
\beta = w_1 = 2,
\alpha = \frac{3w_1 - w_2}{2} = \frac{3\cdot 2 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Verificação rápida:
2\mathbf{u}+2\mathbf{v}=2\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix},
confere.

Passo 6

Aplicando a condição ao item (b): \mathbf{w}=\begin{bmatrix}0\\\ 4\\\ 5\end{bmatrix}.
Calcule 2w_1 - w_2 - w_3:
2\cdot 0 - 4 - 5 = -9 \neq 0.
A condição falha, logo (b) não é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Observação alternativa (para ver a contradição explicitamente): da primeira equação teríamos \beta=0. Então da segunda viria -2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = -2, e da terceira viria 2\alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 2,5, contradição entre -2 e 2,5.

Passo 7

Aplicando ao item (c): \mathbf{w}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
Calcule 2w_1 - w_2 - w_3:
2\cdot 0 - 0 - 0 = 0.
Condição satisfeita. Além disso, da primeira equação \beta=0 e substituindo obtemos \alpha=0. Assim o vetor zero é combinação linear trivial:
0\mathbf{u}+0\mathbf{v}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.

Resposta

a) Sim, é combinação linear; \alpha=2,\; \beta=2 (ou 2\mathbf{u}+2\mathbf{v}).
b) Não, não é combinação linear.
c) Sim, é combinação linear; \alpha=0,\; \beta=0.

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