e pede para escrever o polinómio \;0\; (o polinómio nulo) como combinação linear desses três.
Informação relevante dada: \;p_{1},p_{2},p_{3}\; estão explícitos. O que nos pedem é encontrar escalares \;a,b,c\; tais que
a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}=0.
Não começamos a resolver ainda — apenas identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Vamos escrever a equação com incógnitas \;a,b,c\;:
a(2+x+4x^{2})+b(1-x+3x^{2})+c(3+2x+5x^{2})=0.
Explicação didática: quando dizemos que dois polinómios são iguais (aqui o lado esquerdo e o polinómio nulo) queremos que sejam iguais para todo x. Uma propriedade fundamental é: dois polinómios iguais para todo x têm todos os coeficientes correspondentes iguais. Por exemplo, se A(x)=\alpha x+\beta e A(x)=0 para todo x, então \alpha=0 e \beta=0. Vamos aplicar essa ideia ao nosso caso.
Passo 3
Expandimos a combinação e agrupamos os coeficientes de cada potência de x.
Constante (coeficiente de x^{0}):
2a + 1b + 3c.
Coeficiente de x:
1a + (-1)b + 2c.
Coeficiente de x^{2}:
4a + 3b + 5c.
Como a soma tem de ser o polinómio nulo (todos os coeficientes igual a zero), obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2a + b + 3c = 0,\\[4pt] a - b + 2c = 0,\\[4pt] 4a + 3b + 5c = 0. \end{cases}]
Passo 4
Agora resolvemos o sistema. Uma forma simples e elementar é usar substituição/eliminação.
Da segunda equação temos
a - b + 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = b - 2c.
Substituímos a=b-2c na primeira equação:
2(b-2c) + b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b-4c + b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad 3b - c = 0.
Interpretação didática: isto significa que os polinómios \;p_{1},p_{2},p_{3}\; são linearmente independentes (uma verificação alternativa seria calcular o determinante da matriz dos coeficientes e ver que não é zero), por isso o polinómio nulo só pode ser escrito como combinação linear trivial.