Escreve os seguintes polinómios como combinações lineares de
p_{1}=2+x+4 x^{2}, \quad p_{2}=1-x+3 x^{2}, \quad p_{3}=3+2 x+5 x^{2} .
0

Passo 1

O enunciado dá três polinómios
p_{1}=2+x+4x^{2},\qquad p_{2}=1-x+3x^{2},\qquad p_{3}=3+2x+5x^{2}
e pede para escrever o polinómio \;0\; (o polinómio nulo) como combinação linear desses três.
Informação relevante dada:
\;p_{1},p_{2},p_{3}\; estão explícitos. O que nos pedem é encontrar escalares \;a,b,c\; tais que
a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{3}=0.
Não começamos a resolver ainda — apenas identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vamos escrever a equação com incógnitas \;a,b,c\;:
a(2+x+4x^{2})+b(1-x+3x^{2})+c(3+2x+5x^{2})=0.
Explicação didática: quando dizemos que dois polinómios são iguais (aqui o lado esquerdo e o polinómio nulo) queremos que sejam iguais para todo x. Uma propriedade fundamental é: dois polinómios iguais para todo x têm todos os coeficientes correspondentes iguais. Por exemplo, se A(x)=\alpha x+\beta e A(x)=0 para todo x, então \alpha=0 e \beta=0. Vamos aplicar essa ideia ao nosso caso.

Passo 3

Expandimos a combinação e agrupamos os coeficientes de cada potência de x.
Constante (coeficiente de x^{0}):
2a + 1b + 3c.
Coeficiente de x:
1a + (-1)b + 2c.
Coeficiente de x^{2}:
4a + 3b + 5c.
Como a soma tem de ser o polinómio nulo (todos os coeficientes igual a zero), obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2a + b + 3c = 0,\\[4pt] a - b + 2c = 0,\\[4pt] 4a + 3b + 5c = 0. \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema. Uma forma simples e elementar é usar substituição/eliminação.
Da segunda equação temos
a - b + 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = b - 2c.
Substituímos a=b-2c na primeira equação:
2(b-2c) + b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b-4c + b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad 3b - c = 0.
Isto dá
c = 3b.
Substituímos a=b-2c e c=3b na terceira equação:
4(b-2c) + 3b + 5c = 0.
Substituindo c=3b:
4(b-2\cdot 3b) + 3b + 5\cdot 3b = 0
4(b-6b) + 3b + 15b = 0
4(-5b) + 18b = 0
-20b + 18b = 0 \quad\Rightarrow\quad -2b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.
Então b=0. Com b=0 vem c=3b=0 e a=b-2c=0-0=0.

Passo 5

Concluímos que a única solução do sistema é
a=0,\qquad b=0,\qquad c=0.
Interpretação didática: isto significa que os polinómios \;p_{1},p_{2},p_{3}\; são linearmente independentes (uma verificação alternativa seria calcular o determinante da matriz dos coeficientes e ver que não é zero), por isso o polinómio nulo só pode ser escrito como combinação linear trivial.

Resposta

0 = 0\cdot p_{1} + 0\cdot p_{2} + 0\cdot p_{3}

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