Escreve os vectores seguintes como combinações lineares de
.
Passo 1
O enunciado dá três vectores
e pede para escrever o vector
como combinação linear desses vectores. Ou seja, encontrar escalares (coeficientes)
tais que
Passo 2
O que significa escrever como combinação linear? Significa encontrar
de modo que a soma ponderada das componentes de
dê o vector pedido. Escrevendo componente a componente, se
então obtemos um sistema de três equações lineares para
(uma por componente).
Passo 3
Escrevendo as equações da soma componente a componente temos:
primeira componente:
primeira componente:
segunda componente:
terceira componente:
Portanto o sistema a resolver é
Passo 4
Vou isolar
a partir da segunda equação porque ela tem coeficiente
em
, o que facilita. Da segunda equação
temos
Passo 5
Substituo
na primeira equação
:
Faço as multiplicações e simplifico passo a passo:
Passo o 22 para o outro lado:
Portanto obtemos a equação
Passo 6
Agora substituo
na terceira equação
:
Faço as multiplicações:
Passo o 44 para o outro lado:
Logo obtemos a equação
Passo 7
Agora resolvo o sistema de duas equações em
Da primeira
:
Substituo na segunda:
Desenvolvendo:
Passo
pro outro lado:
portanto
Passo 8
Com
calcule
pela fórmula
:
Passo 9
Agora volto a calcular
usando
:
Passo 10
Faço uma verificação rápida somando as combinações com os coeficientes encontrados:
confirma-se que os coeficientes estão correctos.