Escreve os vectores seguintes como combinações lineares de
\mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right], \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], \quad \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right].
\left[\begin{array}{c}6 \\\\ 11 \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vectores
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]4\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]3\end{pmatrix},\quad \mathbf{w}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]5\end{pmatrix}
e pede para escrever o vector
\begin{pmatrix}6\\[2pt]11\\[2pt]6\end{pmatrix}
como combinação linear desses vectores. Ou seja, encontrar escalares (coeficientes) x,y,z tais que
x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w}=\begin{pmatrix}6\\[2pt]11\\[2pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa escrever como combinação linear? Significa encontrar x,y,z\in\mathbb{R} de modo que a soma ponderada das componentes de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} dê o vector pedido. Escrevendo componente a componente, se
x\mathbf{u}+y\mathbf{v}+z\mathbf{w}= x\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix},
então obtemos um sistema de três equações lineares para x,y,z (uma por componente).

Passo 3

Escrevendo as equações da soma componente a componente temos:
primeira componente:
2x+1y+3z=6,
segunda componente:
x-y+2z=11,
terceira componente:
4x+3y+5z=6.
Portanto o sistema a resolver é
\begin{cases} 2x+y+3z=6,\\[4pt] x-y+2z=11,\\[4pt] 4x+3y+5z=6. \end{cases}]

Passo 4

Vou isolar x a partir da segunda equação porque ela tem coeficiente 1 em x, o que facilita. Da segunda equação
x-y+2z=11
temos
x=11+y-2z.

Passo 5

Substituo x=11+y-2z na primeira equação 2x+y+3z=6:
2(11+y-2z)+y+3z=6.
Faço as multiplicações e simplifico passo a passo:
22+2y-4z+y+3z=6,
22+3y-z=6.
Passo o 22 para o outro lado:
3y-z=6-22=-16.
Portanto obtemos a equação
3y-z=-16.

Passo 6

Agora substituo x=11+y-2z na terceira equação 4x+3y+5z=6:
4(11+y-2z)+3y+5z=6.
Faço as multiplicações:
44+4y-8z+3y+5z=6,
44+7y-3z=6.
Passo o 44 para o outro lado:
7y-3z=6-44=-38.
Logo obtemos a equação
7y-3z=-38.

Passo 7

Agora resolvo o sistema de duas equações em y\) e \(z\): \[\begin{cases} 3y-z=-16,\\[4pt] 7y-3z=-38. \end{cases}
Da primeira 3y-z=-16\] isolamos \(z:
z=3y+16.
Substituo na segunda:
7y-3(3y+16)=-38.
Desenvolvendo:
7y-9y-48=-38,
-2y-48=-38.
Passo -48 pro outro lado:
-2y=10,
portanto
y=-5.]

Passo 8

Com y=-5 calcule z pela fórmula z=3y+16:
z=3(-5)+16=-15+16=1.

Passo 9

Agora volto a calcular x usando x=11+y-2z:
x=11+(-5)-2\cdot 1=11-5-2=4.

Passo 10

Faço uma verificação rápida somando as combinações com os coeficientes encontrados:
4\mathbf{u}-5\mathbf{v}+1\mathbf{w}= 4\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix} -5\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8\\\ 4\\\ 16\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-5\\\ 5\\\ -15\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ 11\\\ 6\end{pmatrix},
confirma-se que os coeficientes estão correctos.

Resposta

4\mathbf{u}-5\mathbf{v}+\mathbf{w}

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