Quais das seguintes matrizes são combinações lineares de
A=\left[\begin{array}{cc}-4 & 0 \\\ 2 & -2\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\ 3 & -1\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\ 1 & 4\end{array}\right] ?
\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três matrizes
A=\begin{pmatrix}-4 & 0 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e pergunta se a matriz
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
é uma combinação linear de A, B e C.
Informações relevantes fornecidas:
  • As matrizes A,B,C são conhecidas (dados explícitos acima).
  • A matriz-alvo é a matriz zero 0_{2\times2}.
  • A pergunta é simplesmente: existe um triplo de escalares \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha A+\beta B+\gamma C seja igual à matriz zero?]

Passo 2

O que é uma combinação linear (rapidinho, tipo aula curta)?
Uma matriz M é combinação linear de A,B,C se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A+\beta B+\gamma C = M.
Aqui queremos M igual à matriz zero. Isso significa montar um sistema linear que expressa igualdade de cada entrada das matrizes. Vamos escrever isso explicitamente: se
\alpha A+\beta B+\gamma C = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
isso gera quatro equações (uma para cada entrada da matriz). Vou ensinar passo a passo como montar e resolver essas equações.]

Passo 3

Escrevendo a combinação entrada a entrada: primeiro calculemos \alpha A+\beta B+\gamma C como matriz. Usando as entradas dadas,
\alpha A+\beta B+\gamma C = \begin{pmatrix} \alpha(-4)+\beta(1)+\gamma(0) & \alpha(0)+\beta(2)+\gamma(2) \\[6pt] \alpha(2)+\beta(3)+\gamma(1) & \alpha(-2)+\beta(-1)+\gamma(4) \end{pmatrix}.
Queremos que essa matriz seja a matriz zero, portanto cada entrada deve ser zero. Assim obtemos o sistema linear em \alpha,\beta,\gamma:
\begin{cases} -4\alpha + \beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] 0\alpha + 2\beta + 2\gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0,\\[4pt] -2\alpha - \beta + 4\gamma = 0. \end{cases}]

Passo 4

Simplificando as equações (removendo os zeros onde não há coeficiente):
\begin{cases} -4\alpha + \beta = 0,\\[4pt] 2\beta + 2\gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0,\\[4pt] -2\alpha - \beta + 4\gamma = 0. \end{cases}
Resolva passo a passo: da primeira equação temos
\beta = 4\alpha.
Da segunda equação temos, dividindo por 2,
\beta + \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \gamma = -\beta.
Substituindo \beta=4\alpha em \gamma=-\beta
\gamma = -4\alpha.]

Passo 5

Agora substituímos \beta e \gamma em uma das equações restantes (vou usar a terceira) para verificar consistência:
2\alpha + 3\beta + \gamma = 0.
Substituindo \beta=4\alpha e \gamma=-4\alpha,
2\alpha + 3(4\alpha) + (-4\alpha) = 2\alpha + 12\alpha - 4\alpha = 10\alpha.
Portanto a terceira equação pede 10\alpha = 0, ou seja
\alpha = 0.
Com \alpha=0 obtemos \beta=4\cdot 0=0 e \gamma=-4\cdot 0=0.

Passo 6

Verificação final: substituindo \alpha=\beta=\gamma=0 em todas as equações elas ficam 0=0, portanto a solução é válida. Conclusões importantes que aprendemos aqui:
  • Existe uma solução: \alpha=\beta=\gamma=0. Logo a matriz zero é combinação linear de A,B,C (trivialmente, qualquer conjunto de vetores ou matrizes gera a matriz zero com todos coeficientes zero).
  • A solução foi única (apenas a solução trivial), o que mostra que A,B,C são linearmente independentes (curioso para lembrar na prova).

Resposta

Sim — \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=0\cdot A+0\cdot B+0\cdot C.]

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