é uma combinação linear de A, B e C.
Informações relevantes fornecidas:
As matrizes A,B,C são conhecidas (dados explícitos acima).
A matriz-alvo é a matriz zero 0_{2\times2}.
A pergunta é simplesmente: existe um triplo de escalares \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha A+\beta B+\gamma C seja igual à matriz zero?]
Passo 2
O que é uma combinação linear (rapidinho, tipo aula curta)?
Uma matriz M é combinação linear de A,B,C se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A+\beta B+\gamma C = M.
Aqui queremos M igual à matriz zero. Isso significa montar um sistema linear que expressa igualdade de cada entrada das matrizes. Vamos escrever isso explicitamente: se
Portanto a terceira equação pede 10\alpha = 0, ou seja
\alpha = 0.
Com \alpha=0 obtemos \beta=4\cdot 0=0 e \gamma=-4\cdot 0=0.
Passo 6
Verificação final: substituindo \alpha=\beta=\gamma=0 em todas as equações elas ficam 0=0, portanto a solução é válida. Conclusões importantes que aprendemos aqui:
Existe uma solução: \alpha=\beta=\gamma=0. Logo a matriz zero é combinação linear de A,B,C (trivialmente, qualquer conjunto de vetores ou matrizes gera a matriz zero com todos coeficientes zero).
A solução foi única (apenas a solução trivial), o que mostra que A,B,C são linearmente independentes (curioso para lembrar na prova).