Escrevendo para aprender Seja f(x)=\left|x^{3}-9 x\right|. f^{\prime}(3) existe?
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\left|x^{3}-9x\right| e pergunta se f^{\prime}(3) existe.
Informações relevantes que temos (apenas listar, sem resolver ainda):
A função interna do valor absoluto é g(x)=x^{3}-9x.
Queremos saber se a derivada de f no ponto x=3 existe (ou seja, se o limite que define f^{\prime}(3) existe).
Passo 2
Primeira observação útil (fórmula e ideia): quando temos f(x)=|g(x)| e g é diferenciável, o ponto onde g(x)=0 é crítico para a existência de f'. Vou calcular g(3) e g'(x) para ver o que acontece em x=3.
Calcular g(3):
g(3)=3^{3}-9\cdot 3 = 27-27=0.
Calcular g'(x) (derivada de g):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-9x\bigr)=3x^{2}-9.
Avaliar em x=3:
g'(3)=3\cdot 3^{2}-9=3\cdot 9-9=27-9=18.
Portanto g(3)=0 e g'(3)=18\neq 0. Isso já dá pista (mas ainda vou demonstrar passo a passo): quando a parte interna zera com derivada não nula, o módulo costuma criar um “canto” e a derivada não existe. Agora vou mostrar isso formalmente usando as derivadas laterais.
Passo 3
Determinar o sinal de g(x) perto de x=3 (para saber qual ramo do módulo vale à esquerda e à direita). Fatore g:
g(x)=x^{3}-9x = x(x^{2}-9)=x(x-3)(x+3).
Para x próximo de 3 temos x>0 e x+3>0, então o sinal de g(x) próximo de 3 é o mesmo do fator (x-3). Logo:
Conclusão pelos limites laterais: f'_{-}(3)=-18 e f'_{+}(3)=18. Como as derivadas laterais são diferentes, o limite que define f'(3) (o limite bilateral) não existe. Intuitivamente: o gráfico de g cruza o eixo em x=3 com inclinação não nula, e aplicar o valor absoluto reflete o ramo que fica negativo, gerando um “v”-ou canto em x=3, ou seja, uma descontinuidade da derivada.