Escrevendo para aprender Seja f(x)=\left|x^{3}-9 x\right|.
f^{\prime}(3) existe?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left|x^{3}-9x\right| e pergunta se f^{\prime}(3) existe.
Informações relevantes que temos (apenas listar, sem resolver ainda):
  • A função interna do valor absoluto é g(x)=x^{3}-9x.
  • Queremos saber se a derivada de f no ponto x=3 existe (ou seja, se o limite que define f^{\prime}(3) existe).

Passo 2

Primeira observação útil (fórmula e ideia): quando temos f(x)=|g(x)| e g é diferenciável, o ponto onde g(x)=0 é crítico para a existência de f'. Vou calcular g(3) e g'(x) para ver o que acontece em x=3.
Calcular g(3):
g(3)=3^{3}-9\cdot 3 = 27-27=0.
Calcular g'(x) (derivada de g):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-9x\bigr)=3x^{2}-9.
Avaliar em x=3:
g'(3)=3\cdot 3^{2}-9=3\cdot 9-9=27-9=18.
Portanto g(3)=0 e g'(3)=18\neq 0. Isso já dá pista (mas ainda vou demonstrar passo a passo): quando a parte interna zera com derivada não nula, o módulo costuma criar um “canto” e a derivada não existe. Agora vou mostrar isso formalmente usando as derivadas laterais.

Passo 3

Determinar o sinal de g(x) perto de x=3 (para saber qual ramo do módulo vale à esquerda e à direita). Fatore g:
g(x)=x^{3}-9x = x(x^{2}-9)=x(x-3)(x+3).
Para x próximo de 3 temos x>0 e x+3>0, então o sinal de g(x) próximo de 3 é o mesmo do fator (x-3). Logo:
  • Se x<3 (próximo de 3), então x-3<0 e g(x)<0.
  • Se x>3 (próximo de 3), então x-3>0 e g(x)>0.
Portanto, nas vizinhanças de 3,
f(x)=\begin{cases} -\,g(x), & x<3,\\[4pt] \\ \,g(x), & x>3, \end{cases} \quad\text{e}\quad f(3)=|g(3)|=0.]

Passo 4

Calcular a derivada lateral à esquerda em x=3 usando a definição do limite do quociente diferencial:
f'_{-}(3)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}.
Como para x<3 temos f(x)=-g(x) e f(3)=0, obtemos
f'_{-}(3)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{-g(x)-0}{x-3}=-\lim_{x\to 3^{-}}\frac{g(x)-g(3)}{x-3}.
Como g é diferenciável em 3, o limite à direita e à esquerda do quociente de diferença de g é g'(3). Logo
f'_{-}(3)=-g'(3)=-18.

Passo 5

Calcular a derivada lateral à direita em x=3:
f'_{+}(3)=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}.
Para x>3 temos f(x)=g(x), portanto
f'_{+}(3)=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{g(x)-0}{x-3}=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{g(x)-g(3)}{x-3}=g'(3)=18.

Passo 6

Conclusão pelos limites laterais: f'_{-}(3)=-18 e f'_{+}(3)=18. Como as derivadas laterais são diferentes, o limite que define f'(3) (o limite bilateral) não existe. Intuitivamente: o gráfico de g cruza o eixo em x=3 com inclinação não nula, e aplicar o valor absoluto reflete o ramo que fica negativo, gerando um “v”-ou canto em x=3, ou seja, uma descontinuidade da derivada.

Resposta

Não. f'(3) não existe.

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