Escrevendo para aprender Seja f(x)=\left|x^{3}-9 x\right|.
Calcule todos os extremos de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left|x^{3}-9x\right| definida para todo x\in\mathbb{R} e pede para calcular todos os extremos de f (ou seja: todos os máximos e mínimos, locais e globais, com seus pontos e valores).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • A função é o módulo de uma função polinomial x^{3}-9x.
  • O domínio é todo o conjunto dos reais.
  • Pelo fato do módulo, sempre vale f(x)\ge 0.
O que vamos precisar encontrar (lista de alvos da resolução):
  • Pontos críticos (onde f' é zero ou não existe).
  • Classificação de cada ponto crítico (mínimo local/global, máximo local/global, ou nenhum).
  • Valores de f nesses pontos.

Passo 2

Preciso explicar um conceito fundamental: como lidar com a derivada de uma função do tipo [f(x)=|u(x)|).
  • Definição prática: para u(x) diferenciável e u(x)\neq 0, vale
\frac{d}{dx}|u(x)| = u'(x)\,\operatorname{sgn}(u(x)),
onde a função sinal é definida por
\operatorname{sgn}(t)= \begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] -1, & t<0. \end{cases}
Isto significa que, quando u(x)\] é positivo usamos \(f(x)=u(x) (derivada u'(x)) e quando u(x) é negativo usamos f(x)=-u(x) (derivada -u'(x)).
  • Pontos onde u(x)=0 são pontos especiais: aí f pode não ser diferenciável (há “cantos” do módulo). Mesmo assim esses pontos são candidatos a extremos porque o módulo atinge valor mínimo 0 nesses lugares. Então, para achar extremos devemos considerar:
    1. pontos onde u(x)=0 (possível não diferenciabilidade),
    2. pontos onde u'(x)=0 com u(x)\neq 0 (derivada de f pode ser zero),
    3. classificar cada candidato observando o comportamento de f nos lados (sinal de f' à esquerda e à direita) ou simplesmente comparando valores.
Vou aplicar essas ideias ao caso u(x)=x^{3}-9x.]

Passo 3

Calcular e fatorar a função interna u(x)=x^{3}-9x:
u(x)=x^{3}-9x = x(x^{2}-9)=x(x-3)(x+3).
As raízes de u são x=-3,\;x=0,\;x=3. Em cada uma dessas três abscissas temos u(x)=0, logo f(x)=0 nesses pontos.
Como f(x)=|u(x)|\ge 0 sempre, os pontos onde f=0 são candidatos naturais a mínimos (possivelmente mínimos globais).

Passo 4

Determinar o sinal de u(x) em cada intervalo para escrever f de forma peça a peça.
Analisando os fatores x, (x-3), (x+3), ou testando pontos:
  • Para x<-3 (por exemplo x=-4): u(x)<0.
  • Para -3<x<0 (por exemplo x=-1): u(x)>0.
  • Para 0<x<3 (por exemplo x=1): u(x)<0.
  • Para x>3 (por exemplo x=4): u(x)>0.
Portanto podemos escrever f peça a peça:
f(x)=\begin{cases} -(x^{3}-9x), & x\in(-\infty,-3)\cup(0,3),\\[4pt] \phantom{-}(x^{3}-9x), & x\in(-3,0)\cup(3,\infty),\\[4pt] 0, & x\in\{-3,0,3\}. \end{cases}]

Passo 5

Derivar f\) nas regiões onde \(u(x)\neq 0\). Primeiro calcule \(u'(x)\): \[u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-9x)=3x^{2}-9=3(x^{2}-3).
Usando a regra do passo 2, em cada intervalo:
  • Se u(x)>0 então f'(x)=u'(x)=3(x^{2}-3).
  • Se u(x)<0 então f'(x)=-u'(x)=-3(x^{2}-3).
Portanto, explicitamente,
f'(x)=\begin{cases} -3(x^{2}-3), & x\in(-\infty,-3)\cup(0,3),\\[4pt] \phantom{-}3(x^{2}-3), & x\in(-3,0)\cup(3,\infty). \end{cases}
Nos pontos x\in\{-3,0,3\}\] a derivada pode não existir (são pontos onde \(u(x)=0) — devemos tratá-los separadamente.]

Passo 6

Encontrar os pontos críticos candidatos:
  1. Zeros de u: x=-3,0,3 (pontos de não diferenciabilidade do módulo).
  2. Zeros da derivada nas regiões diferenciáveis: resolver 3(x^{2}-3)=0\Rightarrow x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}.
    • Como u(\sqrt{3})\neq 0 e u(-\sqrt{3})\neq 0 (veremos o valor), estes são pontos onde f'(x)=0.
Portanto os candidatos são
x\in\{-3,\;-\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3},\;3\}.

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos (vai nos ajudar a comparar e classificar).
  • Para as raízes de u:
f(-3)=0,\qquad f(0)=0,\qquad f(3)=0.
  • Para x=\sqrt{3}:
u(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{3}-9\sqrt{3}=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-6\sqrt{3},
logo
f(\sqrt{3})=\big|u(\sqrt{3})\big|=6\sqrt{3}.
  • Para x=-\sqrt{3}:
u(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^{3}-9(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}=6\sqrt{3},
logo
f(-\sqrt{3})=\big|u(-\sqrt{3})\big|=6\sqrt{3}.
Resumo de valores:
f(-3)=0,\quad f(0)=0,\quad f(3)=0,\quad f(\pm\sqrt{3})=6\sqrt{3}.

Passo 8

Classificar x=\pm\sqrt{3} (pontos diferenciáveis onde f'=0) usando o sinal de f' à esquerda e à direita.
Lembrando que f'(x)=\pm 3(x^{2}-3) e que x^{2}-3 muda de sinal em \pm\sqrt{3}:
  • Para |x|<\sqrt{3} tem-se x^{2}-3<0\Rightarrow 3(x^{2}-3)<0.
  • Para |x|>\sqrt{3} tem-se x^{2}-3>0\Rightarrow 3(x^{2}-3)>0.
Agora veja cada ponto:
  • Em x=\sqrt{3}: como u(\sqrt{3})<0 (ver Passo 7), para x perto de \sqrt{3} usamos f'(x)=-3(x^{2}-3).
    • À esquerda de \sqrt{3} (isto é, com x<\sqrt{3} mas próximo), temos x^{2}-3<0 então -3(x^{2}-3)>0 \Rightarrow f'>0.
    • À direita de \sqrt{3}, temos x^{2}-3>0 então -3(x^{2}-3)<0 \Rightarrow f'<0.
    • Como a derivada passa de positiva para negativa ao atravessar \sqrt{3}, f tem um máximo local em x=\sqrt{3}. Valor: f(\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
  • Em x=-\sqrt{3}: como u(-\sqrt{3})>0, usamos f'(x)=3(x^{2}-3) perto de -\sqrt{3}.
    • À esquerda de -\sqrt{3} (mais negativo), tem |x|>\sqrt{3}\Rightarrow x^{2}-3>0 então f'>0.
    • À direita de -\sqrt{3} (mais próximo de zero), tem |x|<\sqrt{3}\Rightarrow x^{2}-3<0 então f'<0.
    • A derivada passa de positiva para negativa ao atravessar -\sqrt{3}, portanto f tem um máximo local em x=-\sqrt{3}. Valor: f(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
Conclusão parcial: x=\pm\sqrt{3} são máximos locais (ambos com o mesmo valor 6\sqrt{3}). Não existe máximo global finito, pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty.

Passo 9

Classificar os pontos x=-3,0,3 (onde u=0 e f=0).
  • Como f(x)=|u(x)|\ge 0 para todo x, e f(-3)=f(0)=f(3)=0, estes pontos atingem o menor valor possível de f. Logo são mínimos globais.
  • Para ver que são mínimos locais também, basta notar que em qualquer intervalo pequeno ao redor de cada um desses pontos f(x)\ge 0 e para x próximo (mas diferente do ponto) o módulo assume valores positivos (veja a mudança de sinal de u nos intervalos: à esquerda e à direita de cada raiz u tem sinais opostos, mas |u| fica positivo nos dois lados). Assim cada um desses pontos é um mínimo local e, como f\ge 0 em todo domínio, são mínimos globais com valor 0.

Passo 10

Reunindo tudo:
  • Máximos locais em x=-\sqrt{3} e x=\sqrt{3}, ambos com valor f=6\sqrt{3}.
  • Mínimos (globais) em x=-3,0,3, todos com valor f=0.
  • Não há máximo global finito (pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty).

Resposta

Mínimos globais: x=-3,\;x=0,\;x=3, com f(-3)=f(0)=f(3)=0.
Máximos locais: x=-\sqrt{3} e x=\sqrt{3}, com f(-\sqrt{3})=f(\sqrt{3})=6\sqrt{3}.

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