Escrevendo para aprender Seja f(x)=\left|x^{3}-9 x\right|.
Calcule todos os extremos de f.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\left|x^{3}-9x\right| definida para todo x\in\mathbb{R} e pede para calcular todos os extremos de f (ou seja: todos os máximos e mínimos, locais e globais, com seus pontos e valores).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
A função é o módulo de uma função polinomial x^{3}-9x.
O domínio é todo o conjunto dos reais.
Pelo fato do módulo, sempre vale f(x)\ge 0.
O que vamos precisar encontrar (lista de alvos da resolução):
Pontos críticos (onde f' é zero ou não existe).
Classificação de cada ponto crítico (mínimo local/global, máximo local/global, ou nenhum).
Valores de f nesses pontos.
Passo 2
Preciso explicar um conceito fundamental: como lidar com a derivada de uma função do tipo [f(x)=|u(x)|).
Definição prática: para u(x) diferenciável e u(x)\neq 0, vale
Isto significa que, quando u(x)\] é positivo usamos \(f(x)=u(x) (derivada u'(x)) e quando u(x) é negativo usamos f(x)=-u(x) (derivada -u'(x)).
Pontos onde u(x)=0 são pontos especiais: aí f pode não ser diferenciável (há “cantos” do módulo). Mesmo assim esses pontos são candidatos a extremos porque o módulo atinge valor mínimo 0 nesses lugares. Então, para achar extremos devemos considerar:
pontos onde u(x)=0 (possível não diferenciabilidade),
pontos onde u'(x)=0 com u(x)\neq 0 (derivada de f pode ser zero),
classificar cada candidato observando o comportamento de f nos lados (sinal de f' à esquerda e à direita) ou simplesmente comparando valores.
Vou aplicar essas ideias ao caso u(x)=x^{3}-9x.]
Passo 3
Calcular e fatorar a função interna u(x)=x^{3}-9x:
u(x)=x^{3}-9x = x(x^{2}-9)=x(x-3)(x+3).
As raízes de u são x=-3,\;x=0,\;x=3. Em cada uma dessas três abscissas temos u(x)=0, logo f(x)=0 nesses pontos.
Como f(x)=|u(x)|\ge 0 sempre, os pontos onde f=0 são candidatos naturais a mínimos (possivelmente mínimos globais).
Passo 4
Determinar o sinal de u(x) em cada intervalo para escrever f de forma peça a peça.
Analisando os fatores x, (x-3), (x+3), ou testando pontos:
Classificar x=\pm\sqrt{3} (pontos diferenciáveis onde f'=0) usando o sinal de f' à esquerda e à direita.
Lembrando que f'(x)=\pm 3(x^{2}-3) e que x^{2}-3 muda de sinal em \pm\sqrt{3}:
Para |x|<\sqrt{3} tem-se x^{2}-3<0\Rightarrow 3(x^{2}-3)<0.
Para |x|>\sqrt{3} tem-se x^{2}-3>0\Rightarrow 3(x^{2}-3)>0.
Agora veja cada ponto:
Em x=\sqrt{3}: como u(\sqrt{3})<0 (ver Passo 7), para x perto de \sqrt{3} usamos f'(x)=-3(x^{2}-3).
À esquerda de \sqrt{3} (isto é, com x<\sqrt{3} mas próximo), temos x^{2}-3<0 então -3(x^{2}-3)>0\Rightarrow f'>0.
À direita de \sqrt{3}, temos x^{2}-3>0 então -3(x^{2}-3)<0\Rightarrow f'<0.
Como a derivada passa de positiva para negativa ao atravessar \sqrt{3}, f tem um máximo local em x=\sqrt{3}. Valor: f(\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
Em x=-\sqrt{3}: como u(-\sqrt{3})>0, usamos f'(x)=3(x^{2}-3) perto de -\sqrt{3}.
À esquerda de -\sqrt{3} (mais negativo), tem |x|>\sqrt{3}\Rightarrow x^{2}-3>0 então f'>0.
À direita de -\sqrt{3} (mais próximo de zero), tem |x|<\sqrt{3}\Rightarrow x^{2}-3<0 então f'<0.
A derivada passa de positiva para negativa ao atravessar -\sqrt{3}, portanto f tem um máximo local em x=-\sqrt{3}. Valor: f(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}.
Conclusão parcial: x=\pm\sqrt{3} são máximos locais (ambos com o mesmo valor 6\sqrt{3}). Não existe máximo global finito, pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty.
Passo 9
Classificar os pontos x=-3,0,3 (onde u=0 e f=0).
Como f(x)=|u(x)|\ge 0 para todo x, e f(-3)=f(0)=f(3)=0, estes pontos atingem o menor valor possível de f. Logo são mínimos globais.
Para ver que são mínimos locais também, basta notar que em qualquer intervalo pequeno ao redor de cada um desses pontos f(x)\ge 0 e para x próximo (mas diferente do ponto) o módulo assume valores positivos (veja a mudança de sinal de u nos intervalos: à esquerda e à direita de cada raiz u tem sinais opostos, mas |u| fica positivo nos dois lados). Assim cada um desses pontos é um mínimo local e, como f\ge 0 em todo domínio, são mínimos globais com valor 0.
Passo 10
Reunindo tudo:
Máximos locais em x=-\sqrt{3} e x=\sqrt{3}, ambos com valor f=6\sqrt{3}.
Mínimos (globais) em x=-3,0,3, todos com valor f=0.
Não há máximo global finito (pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty).
Resposta
Mínimos globais: x=-3,\;x=0,\;x=3, com f(-3)=f(0)=f(3)=0.
Máximos locais: x=-\sqrt{3} e x=\sqrt{3}, com f(-\sqrt{3})=f(\sqrt{3})=6\sqrt{3}.