Escrevendo para aprender Seja f(x)=\left|x^{3}-9 x\right|.
f^{\prime}(0) existe?

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\left|x^{3}-9x\right|
e pergunta se f^{\prime}(0) existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função dentro do valor absoluto é g(x)=x^{3}-9x.
  • Preciso decidir se a derivada de f em x=0 existe (ou seja, se a derivada por esquerda e por direita em 0 coincidem).

Passo 2

Analisar a expressão dentro do valor absoluto para entender o sinal de g(x)=x^{3}-9x. Primeiro fatoro g:
g(x)=x^{3}-9x = x(x^{2}-9)=x(x-3)(x+3).
Os zeros de g são x=-3, x=0 e x=3. Para decidir o sinal perto de 0, observe um x pequeno em módulo (ou seja, |x|<3). Nesse caso x^{2}-9<0. Assim:
  • Se x>0 e pequeno, x>0 e x^{2}-9<0 imply g(x)=x(x^{2}-9)<0.
  • Se x<0 e pequeno, x<0 e x^{2}-9<0 imply g(x)>0.
Portanto, em torno de 0 a função g muda de sinal: g(x)>0 para x<0 (próximo de 0) e g(x)<0 para x>0 (próximo de 0).

Passo 3

Usando o comportamento de sinal, escrevo f de forma peça a peça em um vizinhança de 0:
  • Para x<0 (próximo de 0) temos g(x)>0, então |g(x)|=g(x). Logo
f(x)=x^{3}-9x \quad\text{para } x<0.
  • Para x>0 (próximo de 0) temos g(x)<0, então |g(x)|=-g(x). Logo
f(x)=-x^{3}+9x \quad\text{para } x>0.
Em x=0 temos g(0)=0 e f(0)=0. Assim, perto de 0 f é dada por essas duas expressões polinomiais diferentes de cada lado.

Passo 4

Calcular a derivada pela esquerda em 0 usando a definição de derivada lateral:
f_{-}^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h<0 pequeno usamos f(h)=h^{3}-9h. Portanto
f_{-}^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{h^{3}-9h-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}\bigl(h^{2}-9\bigr)=-9.
Expliquei passo a passo: dividi o numerador por h, obtive h^{2}-9, e quando h\to0 esse termo tende a -9.

Passo 5

Calcular a derivada pela direita em 0:
f_{+}^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h>0 pequeno usamos f(h)=-h^{3}+9h. Assim
f_{+}^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{-h^{3}+9h-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}\bigl(-h^{2}+9\bigr)=9.
Novamente dividi por h e avaliei o limite.

Passo 6

Comparar as derivadas laterais: f_{-}^{\prime}(0)=-9 e f_{+}^{\prime}(0)=9. Como as derivadas laterais não coincidem, a derivada f^{\prime}(0) não existe.
Comentário didático rápido (regra prática): se f(x)=|u(x)| com u diferenciável em 0 e u(0)=0, então as derivadas laterais de f em 0 são \pm u^{\prime}(0) dependendo do sinal de u à esquerda e à direita; em particular, se u^{\prime}(0)\neq 0, então f não é diferenciável em 0. No nosso caso u(x)=x^{3}-9x tem u(0)=0 e u^{\prime}(0)=-9\neq 0, o que já era um sinal de que f não seria diferenciável em 0.

Resposta

f^{\prime}(0) não existe.

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