Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
T 36. y=x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função y = x e^{2x} e pede para determinar os valores extremos dessa função e onde eles ocorrem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y(x)=x e^{2x}.
  • Domínio natural da função: todos os reais, isto é, \mathbb{R} (pois e^{2x} está definida para todo x\in\mathbb{R}).
  • O objetivo é encontrar pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e classificar esses pontos como máximo, mínimo ou nenhum dos dois; também verificar se algum extremo é global.

Passo 2

Revisão rápida e didática das ferramentas que vamos usar (com linguagem simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, a derivada de u\cdot v é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u e v são funções de x; u' significa a derivada de u em relação a x.
  • Regra da cadeia para exponencial: se v(x)=e^{g(x)}, então
v'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
No nosso problema, g(x)=2x tem derivada g'(x)=2.
  • Ponto crítico: é um x tal que y'(x)=0 ou y'(x) não existe. Como a nossa função é derivável em todo \mathbb{R}, só precisamos resolver y'(x)=0.
  • Testes de classificação:
    • Teste da primeira derivada: se y' muda de sinal de negativo para positivo em um ponto, há mínimo local; se muda de positivo para negativo, há máximo local.
    • Teste da segunda derivada: se y''(x_0)>0 em um ponto crítico x_0, é mínimo local; se y''(x_0)<0, é máximo local.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada usando a regra do produto. Tomando u(x)=x e v(x)=e^{2x}, temos u'(x)=1 e, pela regra da cadeia, v'(x)=2e^{2x}. Então
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}.
Colocando fator comum e^{2x}:
y'(x)=e^{2x}(1+2x).

Passo 4

Encontrar pontos críticos: resolver y'(x)=0.
Como e^{2x}>0 para todo x, a equação e^{2x}(1+2x)=0 é equivalente a
1+2x=0.
Portanto
x=-\tfrac{1}{2}.
Não há pontos onde y' deixe de existir (derivada existe para todo x), então o único ponto crítico é x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Classificação pelo sinal de y' (teste da primeira derivada). Observe que o sinal de y'(x) é o sinal de 1+2x (já que e^{2x}>0):
  • Se x<-\tfrac{1}{2}, então 1+2x<0, logo y'(x)<0: função decrescente à esquerda de -\tfrac{1}{2}.
  • Se x>-\tfrac{1}{2}, então 1+2x>0, logo y'(x)>0: função crescente à direita de -\tfrac{1}{2}.
Como y' passa de negativo para positivo ao atravessar x=-\tfrac{1}{2}, conclui-se que em x=-\tfrac{1}{2} há um mínimo local.

Passo 6

Classificação pelo teste da segunda derivada (confirmação). Calculamos y''(x) derivando y'(x)=e^{2x}(1+2x). Aplicando regra do produto e regra da cadeia:
y''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)(1+2x)+e^{2x}\frac{d}{dx}(1+2x).
Temos \frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=2e^{2x} e \frac{d}{dx}(1+2x)=2. Portanto
y''(x)=2e^{2x}(1+2x)+e^{2x}\cdot 2 = e^{2x}\big(2(1+2x)+2\big).
Simplificando:
y''(x)=e^{2x}(4+4x)=4e^{2x}(1+x).
Avaliaremos em x=-\tfrac{1}{2}:
y''\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=4e^{2(-1/2)}\Big(1+(-\tfrac{1}{2})\Big)=4e^{-1}\cdot\tfrac{1}{2}=2e^{-1}>0.
Como y''(-\tfrac{1}{2})>0, o ponto crítico é de fato um mínimo local (confirmando o teste da primeira derivada).

Passo 7

Valor do mínimo: calcular y em x=-\tfrac{1}{2}.
y\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)e^{2(-1/2)}=-\tfrac{1}{2}e^{-1}=-\dfrac{1}{2e}.

Passo 8

Determinar se o mínimo é global e se existe máximo:
  • Comportamento para x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty} x e^{2x}=+\infty,
pois e^{2x} cresce muito mais rápido que x.
  • Comportamento para x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty} x e^{2x}=0,
pois e^{2x}\to0 mais rápido que x cresce em magnitude; o produto tende a 0 vindo de valores negativos (isto é, 0^-). Uma forma de ver é fazer t=-x>0 grande e observar -t e^{-2t}\to0.
Comparando, o valor do mínimo local -\tfrac{1}{2e} é menor que os valores que a função assume quando x\to\pm\infty (para x\to-\infty a função aproxima-se de 0>-1/(2e), e para x\to+\infty vai a +\infty). Não há outros pontos críticos, logo esse mínimo é o mínimo absoluto (global) da função. Não existe máximo global porque a função é ilimitada superiormente (tende a +\infty quando x\to+\infty).

Passo 9

Resumo prático (onde e o que acontece):
  • Único ponto crítico: x=-\tfrac{1}{2}.
  • Há um mínimo (local e global) em x=-\tfrac{1}{2}, com valor y=-\dfrac{1}{2e}.
  • Não há máximo (a função não possui máximo, é ilimitada acima).

Resposta

Mínimo global: y_{\min}=-\dfrac{1}{2e} ocorre em x=-\dfrac{1}{2}.
Máximo: não existe (a função é ilimitada superiormente).

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