Determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
T 36.
T 36.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os valores extremos dessa função e onde eles ocorrem.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Domínio natural da função: todos os reais, isto é,
(pois está definida para todo ). - O objetivo é encontrar pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e classificar esses pontos como máximo, mínimo ou nenhum dos dois; também verificar se algum extremo é global.
Passo 2
Revisão rápida e didática das ferramentas que vamos usar (com linguagem simples):
- Regra do produto: se
e são funções, a derivada de é
Aqui
e
são funções de
;
significa a derivada de
em relação a
.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
No nosso problema,
tem derivada
.
- Ponto crítico: é um
tal que ou não existe. Como a nossa função é derivável em todo , só precisamos resolver . - Testes de classificação:
- Teste da primeira derivada: se
muda de sinal de negativo para positivo em um ponto, há mínimo local; se muda de positivo para negativo, há máximo local. - Teste da segunda derivada: se
em um ponto crítico , é mínimo local; se , é máximo local.
- Teste da primeira derivada: se
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada usando a regra do produto. Tomando
e
, temos
e, pela regra da cadeia,
. Então
Colocando fator comum
:
Passo 4
Encontrar pontos críticos: resolver
.
Como para todo
, a equação
é equivalente a
Como
Portanto
Não há pontos onde
deixe de existir (derivada existe para todo
), então o único ponto crítico é
.
Passo 5
Classificação pelo sinal de
(teste da primeira derivada). Observe que o sinal de
é o sinal de
(já que
):
- Se
, então , logo : função decrescente à esquerda de . - Se
, então , logo : função crescente à direita de .
Como
passa de negativo para positivo ao atravessar
, conclui-se que em
há um mínimo local.
Passo 6
Classificação pelo teste da segunda derivada (confirmação). Calculamos
derivando
. Aplicando regra do produto e regra da cadeia:
Temos
e
. Portanto
Simplificando:
Avaliaremos em
:
Como
, o ponto crítico é de fato um mínimo local (confirmando o teste da primeira derivada).
Passo 7
Valor do mínimo: calcular
em
.
Passo 8
Determinar se o mínimo é global e se existe máximo:
- Comportamento para
:
pois
cresce muito mais rápido que
.
- Comportamento para
:
pois
mais rápido que
cresce em magnitude; o produto tende a
vindo de valores negativos (isto é,
). Uma forma de ver é fazer
grande e observar
.
Comparando, o valor do mínimo local
é menor que os valores que a função assume quando
(para
a função aproxima-se de
, e para
vai a
). Não há outros pontos críticos, logo esse mínimo é o mínimo absoluto (global) da função. Não existe máximo global porque a função é ilimitada superiormente (tende a
quando
).
Passo 9
Resumo prático (onde e o que acontece):
- Único ponto crítico:
. - Há um mínimo (local e global) em
, com valor . - Não há máximo (a função não possui máximo, é ilimitada acima).
Resposta
Mínimo global:
ocorre em
.
Máximo: não existe (a função é ilimitada superiormente).
Máximo: não existe (a função é ilimitada superiormente).