Escrevendo para aprender O teste da reta vertical, para determinar se uma curva é o gráfico de uma função, diz: se toda reta vertical no plano x y cruza uma dada curva, no máximo em um ponto, então a curva é gráfico de uma função. Explique por que a afirmação é verdadeira.

Passo 1

O enunciado afirma que se toda reta vertical no plano xy cruza uma curva no máximo em um ponto, então essa curva é o gráfico de uma função. Para mostrar isso, vamos usar a definição de função como uma relação que a cada abscissa x associa exatamente uma ordenada y.

Passo 2

Fixe um valor x_{0} no eixo x. A reta vertical correspondente é o conjunto
\{(x,y)\mid x = x_{0}\}.
A hipótese do teste da reta vertical diz que essa reta intersecta a curva em no máximo um ponto, ou seja, existe no máximo um par (x_{0},y) que pertença à curva.

Passo 3

Como para cada x_{0} há no máximo um y tal que (x_{0},y) esteja na curva, podemos definir uma função f cujo domínio D é o conjunto de todos os x_{0} para os quais a reta vertical toca a curva, e colocar
f(x_{0}) = y
quando (x_{0},y) estiver na curva. Essa definição é bem-definida porque, por hipótese, não há ambiguidade: não existem dois pontos distintos da forma (x_{0},y_{1}) e (x_{0},y_{2}).

Passo 4

Com isso, a própria curva é
\bigl\{(x,f(x))\mid x\in D\bigr\},
que, por definição, é exatamente o gráfico da função f. Logo, a curva é o gráfico de uma função.

Resposta

A condição de “no máximo um ponto de interseção por reta vertical” garante que cada abscissa x se relaciona a um único valor y, satisfazendo a definição de função e mostrando que a curva é seu gráfico.

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