Escrevendo para aprender O teste da reta vertical, para determinar se uma curva é o gráfico de uma função, diz: se toda reta vertical no plano
cruza uma dada curva, no máximo em um ponto, então a curva é gráfico de uma função. Explique por que a afirmação é verdadeira.
Passo 1
O enunciado afirma que se toda reta vertical no plano
cruza uma curva no máximo em um ponto, então essa curva é o gráfico de uma função. Para mostrar isso, vamos usar a definição de função como uma relação que a cada abscissa
associa exatamente uma ordenada
.
Passo 2
Fixe um valor
no eixo
. A reta vertical correspondente é o conjunto
A hipótese do teste da reta vertical diz que essa reta intersecta a curva em no máximo um ponto, ou seja, existe no máximo um par
que pertença à curva.
Passo 3
Como para cada
há no máximo um
tal que
esteja na curva, podemos definir uma função
cujo domínio
é o conjunto de todos os
para os quais a reta vertical toca a curva, e colocar
quando
estiver na curva. Essa definição é bem-definida porque, por hipótese, não há ambiguidade: não existem dois pontos distintos da forma
e
.
Passo 4
Com isso, a própria curva é
que, por definição, é exatamente o gráfico da função
. Logo, a curva é o gráfico de uma função.
Resposta
A condição de “no máximo um ponto de interseção por reta vertical” garante que cada abscissa
se relaciona a um único valor
, satisfazendo a definição de função e mostrando que a curva é seu gráfico.