Escrevendo cada fator individual do lado esquerdo em forma exponencial, efetuando as operações indicadas e, finalmente, convertendo para coordenadas retangulares, mostre que
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a expressão do lado esquerdo, quando escrita em forma exponencial, multiplicada e depois convertida de volta para coordenadas retangulares (a forma comum
), resulta na expressão do lado direito. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, especialmente a forma exponencial e a forma retangular, além de saber como multiplicar números complexos nessas formas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como escrever números complexos na forma exponencial. A forma exponencial de um número complexo
é dada por:
onde:
-
é o módulo do número complexo. -
é o argumento (ou ângulo).
Agora, vamos converter cada fator da expressão
para a forma exponencial.
Passo 3
Vamos converter cada termo individualmente:
-
Primeiro termo:
-
pode ser escrito como , então: -
- Portanto:
-
-
Segundo termo:
- Aqui,
e , então: -
- Portanto:
- Aqui,
-
Terceiro termo:
- Aqui,
e , então: -
- Portanto:
- Aqui,
Passo 4
Agora que temos todos os termos na forma exponencial, vamos multiplicá-los:
Primeiro, multiplicamos os módulos:
Em seguida, somamos os argumentos:
Portanto, a expressão multiplicada fica:
Passo 5
Agora, precisamos converter
de volta para a forma retangular. Usamos a fórmula:
Aplicando isso:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Resposta
Assim, mostramos que: