Escrevendo cada fator individual do lado esquerdo em forma exponencial, efetuando as operações indicadas e, finalmente, convertendo para coordenadas retangulares, mostre que
i(1-raiz3 i)(raiz3+i)=2(1+raiz3 i);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a expressão do lado esquerdo, quando escrita em forma exponencial, multiplicada e depois convertida de volta para coordenadas retangulares (a forma comum a + bi), resulta na expressão do lado direito. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, especialmente a forma exponencial e a forma retangular, além de saber como multiplicar números complexos nessas formas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como escrever números complexos na forma exponencial. A forma exponencial de um número complexo z = a + bi é dada por:
z = r e^itheta
onde:
  • r = raiza^2 + b^2 é o módulo do número complexo.
  • theta = arctan(ba) é o argumento (ou ângulo).
Agora, vamos converter cada fator da expressão i(1-raiz3 i)(raiz3+i) para a forma exponencial.

Passo 3

Vamos converter cada termo individualmente:
  1. Primeiro termo: i
    • i pode ser escrito como 0 + 1i, então:
      • r = raiz0^2 + 1^2 = 1
      • theta = arctan(10) = pi2
    • Portanto: i = e^ipi2
  2. Segundo termo: 1 - raiz3i
    • Aqui, a = 1 e b = -raiz3, então:
      • r = raiz1^2 + (-raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2
      • theta = arctan(-raiz31) = -pi3
    • Portanto: 1 - raiz3i = 2 e^-ipi3
  3. Terceiro termo: raiz3 + i
    • Aqui, a = raiz3 e b = 1, então:
      • r = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = 2
      • theta = arctan(1raiz3) = pi6
    • Portanto: raiz3 + i = 2 e^ipi6

Passo 4

Agora que temos todos os termos na forma exponencial, vamos multiplicá-los:
i(1 - raiz3i)(raiz3 + i) = e^ipi2 cdot 2 e^-ipi3 cdot 2 e^ipi6
Primeiro, multiplicamos os módulos:
1 cdot 2 cdot 2 = 4
Em seguida, somamos os argumentos:
pi2 + (-pi3) + pi6 = 3pi6 - 2pi6 + pi6 = 2pi6 = pi3
Portanto, a expressão multiplicada fica:
4 e^ipi3

Passo 5

Agora, precisamos converter 4 e^ipi3 de volta para a forma retangular. Usamos a fórmula:
r e^itheta = r (costheta + isintheta)
Aplicando isso:
4 e^ipi3 = 4 ( cospi3 + i sinpi3 )
Calculando os valores trigonométricos:
  • cospi3 = 12
  • sinpi3 = raiz32
Substituindo:
4 ( 12 + i raiz32 ) = 2 + 2raiz3i = 2(1 + raiz3i)

Resposta

Assim, mostramos que:
i(1-raiz3 i)(raiz3+i) = 2(1+raiz3 i)

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