Escrever 10 propriedades de desigualdades com valor absoluto e exemplos
|x| <= 6 Leftrightarrow-6 <= x <= 6 exemplo |x| & <= 3 Leftrightarrow-3 <= x <= 3 x^2 <= 5 & Leftrightarrow-raiz5 <= x <= raiz5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrevermos 10 propriedades de desigualdades envolvendo valor absoluto, cada uma com um exemplo. A matéria que vamos usar aqui é sobre desigualdades com valor absoluto. Para resolver isso, precisamos entender como o valor absoluto funciona e como ele se relaciona com as desigualdades.

Passo 2

1. Definição de Valor Absoluto:
O valor absoluto de um número é a sua distância em relação ao zero na reta numérica, sempre positiva ou zero.
|a| = a & se a >= 0 -a & se a < 0
Exemplo:
|5| = 5 e |-3| = 3

Passo 3

2. Desigualdade Simples:
Se $ |x| \leq a $, então $ -a \leq x \leq a $, onde $ a \geq 0 $.
|x| <= a
Exemplo:
-a <= x <= a

Passo 4

3. Desigualdade Estrita:
Se $ |x| < a $, então $ -a < x < a $, onde $ a > 0 $.
|x| < a
Exemplo:
-a < x < a

Passo 5

4. Desigualdade com Maior que:
Se $ |x| > a $, então $ x < -a $ ou $ x > a $, onde $ a > 0 $.
|x| > a
Exemplo:
x < -a

Passo 6

5. Desigualdade com Maior ou Igual:
Se $ |x| \geq a $, então $ x \leq -a $ ou $ x \geq a $, onde $ a \geq 0 $.
|x| >= a
Exemplo:
x <= -a

Passo 7

6. Desigualdade com Expressão Quadrática:
Para $ x^2 \leq a $, temos $ -\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} $, onde $ a \geq 0 $.
x^2 <= a
Exemplo:
-raiza <= x <= raiza

Passo 8

7. Multiplicando por um Número Positivo:
Se multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade não muda.
|x| <= a Rightarrow |xb| <= ab (b > 0)
Exemplo:
|x| <= 6 Rightarrow |x2| <= 3

Passo 9

8. Multiplicando por um Número Negativo:
Se multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, a direção da desigualdade muda.
|x| >= a Rightarrow |-xb| >= ab (b > 0)
Exemplo:
|x| >= 4 Rightarrow | -x2 | >= 2

Passo 10

9. Adição em Ambos os Lados:
Podemos adicionar o mesmo número a ambos os lados de uma desigualdade sem alterar sua solução.
|x| - c <= a - c
Exemplo:
|x| <= 5 Rightarrow |x| + 2 <= 7

Passo 11

10. Subtração em Ambos os Lados:
Podemos subtrair o mesmo número de ambos os lados de uma desigualdade sem alterar sua solução.
|x| + c >= a + c
Exemplo:
|x| >= 3 Rightarrow |x| - 1 >= 2

Resposta

Prontinho! Listamos 10 propriedades de desigualdades com valor absoluto, cada uma acompanhada de um exemplo para facilitar o entendimento. Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas sobre algum passo, é só falar!

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