Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar se as funções dadas são analíticas e em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z).
w=raizz=raizr[cos (theta / 2)+i sen(theta / 2)], 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função definida por
w=raizz=raizrl(cos(tfractheta2)+isin(tfractheta2)r),0
é analítica e, em caso afirmativo, calcular sua derivada. Vamos usar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares, que são
ur=1r,vtheta, utheta=-r,vr

Passo 2

Escrevemos a parte real e imaginária em termos de r e theta:
$$u(r,\theta)=\sqrt{r},\cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr),\qquad v(r,\theta)=\sqrt{r},\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
$$Isso vem da forma polar de u(r,theta)=raizr,cosl(tfractheta2r), v(r,theta)=raizr,sinl(tfractheta2r) .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
ur=12r^-tfrac12cosl(tfractheta2r), vtheta=raizrcdot12cosl(tfractheta2r)
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1rvtheta=12r^-tfrac12cosl(tfractheta2r)=ur
Também,
utheta=raizrcdotl(-tfrac12r)sinl(tfractheta2r), vr=12r^-tfrac12sinl(tfractheta2r)
e então
-r,vr=-rcdot12r^-tfrac12sinl(tfractheta2r)=utheta
Como as duas equações de Cauchy–Riemann em polares são satisfeitas, a função é analítica no domínio 0.

Passo 4

Para obter a derivada, usamos a fórmula em polares
f'(z)=e^-ithetal(ur+i,vrr)
Já temos
ur+i,vr=12r^-tfrac12l(cos(tfractheta2)+isin(tfractheta2)r)=12r^-tfrac12e^itfractheta2
Multiplicando por e^-itheta
f'(z)=12r^-tfrac12e^i(tfractheta2-theta)=12r^-tfrac12e^-itfractheta2=12raizz

Resposta

f'(z)=12raizz

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