Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar se as funções dadas são analíticas e em caso positivo, calcule a derivada
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função definida por
é analítica e, em caso afirmativo, calcular sua derivada. Vamos usar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares, que são
Passo 2
Escrevemos a parte real e imaginária em termos de
e
:
$$u(r,\theta)=\sqrt{r},\cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr),\qquad v(r,\theta)=\sqrt{r},\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
$$Isso vem da forma polar de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Logo
Também,
e então
Como as duas equações de Cauchy–Riemann em polares são satisfeitas, a função é analítica no domínio
.
Passo 4
Para obter a derivada, usamos a fórmula em polares
Já temos
Multiplicando por
dá