Escrever 10 propriedades do valor absoluto e dar exemplos.
rrr |x||y|=|x y| & exemplo & |-3||4|=|12| raizx^2=|x| & exemplo & x^2=1 & & |x|=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrevermos 10 propriedades do valor absoluto e dar exemplos para cada uma. O valor absoluto é uma função que retorna o tamanho de um número sem considerar seu sinal. Para resolver isso, vamos listar cada propriedade, explicar um pouquinho o que ela significa e dar um exemplo prático.

Passo 2

1. O valor absoluto de um número é sempre não negativo.
Isso significa que, independente se o número é positivo ou negativo, o resultado do valor absoluto será zero ou positivo.
|x| >= 0
Exemplo:
|-5| = 5

Passo 3

2. O valor absoluto de zero é zero.
Zero não tem sinal, então seu valor absoluto é ele mesmo.
|0| = 0
Exemplo:
|0| = 0

Passo 4

3. Valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos.
Ou seja, multiplicar dois números e depois tirar o valor absoluto dá o mesmo resultado que tirar o valor absoluto de cada número e depois multiplicar.
|x cdot y| = |x| cdot |y|
Exemplo:
|-3 cdot 4| = | -12 | = 12 e |-3| cdot |4| = 3 cdot 4 = 12

Passo 5

4. Valor absoluto de um quociente é igual ao quociente dos valores absolutos.
Semelhante à propriedade do produto, mas com divisão.
| xy | = |x||y|
Exemplo:
| -102 | = |-5| = 5 e | -10 ||2| = 102 = 5

Passo 6

5. Valor absoluto de uma soma é menor ou igual à soma dos valores absolutos.
Isso é conhecido como a desigualdade triangular.
|x + y| <= |x| + |y|
Exemplo:
|3 + (-4)| = | -1 | = 1 <= 3 + 4 = 7

Passo 7

6. Valor absoluto de uma diferença é maior ou igual à diferença dos valores absolutos.
|x - y| >= ||x| - |y||
Exemplo:
|5 - 3| = 2 >= |5| - |3| = 2

Passo 8

7. Valor absoluto de um produto de constantes com o mesmo sinal é o produto dos valores absolutos.
Se ambos os números têm o mesmo sinal, o valor absoluto do produto é o produto dos valores absolutos.
|a cdot b| = |a| cdot |b|
Exemplo:
|(-2) cdot (-3)| = |6| = 6 e |-2| cdot |-3| = 2 cdot 3 = 6

Passo 9

8. Valor absoluto da média é a média dos valores absolutos.
|x + y2| <= |x| + |y|2
Exemplo:
|4 + (-6)2| = | -1 | = 1 <= 4 + 62 = 5

Passo 10

9. Valor absoluto de uma potência par é a potência do valor absoluto.
Se a potência é par, o resultado é sempre não negativo, então podemos tirar o valor absoluto antes de elevar.
|x|^2n = (|x|)^2n
Exemplo:
|(-3)^2| = |9| = 9 e | -3 |^2 = 3^2 = 9

Passo 11

10. Valor absoluto de uma potência ímpar mantém o sinal.
Quando a potência é ímpar, o sinal original é mantido.
|x|^2n+1 = |x^2n+1|
Exemplo:
|(-2)^3| = |-8| = 8 e | -2 |^3 = 2^3 = 8

Resposta

Aqui estão as 10 propriedades do valor absoluto com exemplos:
  1. Sempre não negativo: $ |x| \geq 0 $
    • Exemplo: $ |-5| = 5 $
  2. Valor absoluto de zero: $ |0| = 0 $
    • Exemplo: $ |0| = 0 $
  3. Produto: $ |x \cdot y| = |x| \cdot |y| $
    • Exemplo: $ |-3||4| = | -12 | = 12 $
  4. Quociente: $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
    • Exemplo: $ \left| \frac{-10}{2} \right| = 5 $
  5. Desigualdade Triangular (Soma): $ |x + y| \leq |x| + |y| $
    • Exemplo: $ |3 + (-4)| = 1 \leq 7 $
  6. Desigualdade Triangular (Diferença): $ |x - y| \geq \left||x| - |y|\right| $
    • Exemplo: $ |5 - 3| = 2 \geq 2 $
  7. Produto com Mesmo Sinal: $ |a \cdot b| = |a| \cdot |b| $
    • Exemplo: $ |(-2) \cdot (-3)| = 6 $
  8. Média: $ \left|\frac{x + y}{2}\right| \leq \frac{|x| + |y|}{2} $
    • Exemplo: $ \left|\frac{4 + (-6)}{2}\right| = 1 \leq 5 $
  9. Potência Par: $ |x|^{2n} = (|x|)^{2n} $
    • Exemplo: $ |(-3)^2| = 9 $
  10. Potência Ímpar: $ |x|^{2n+1} = |x^{2n+1}| $
    • Exemplo: $ |(-2)^3| = 8 $

Exercícios relacionados