Escrever 10 propriedades do valor absoluto e dar exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrevermos 10 propriedades do valor absoluto e dar exemplos para cada uma. O valor absoluto é uma função que retorna o tamanho de um número sem considerar seu sinal. Para resolver isso, vamos listar cada propriedade, explicar um pouquinho o que ela significa e dar um exemplo prático.
Passo 2
1. O valor absoluto de um número é sempre não negativo.
Isso significa que, independente se o número é positivo ou negativo, o resultado do valor absoluto será zero ou positivo.
Exemplo:
Passo 3
2. O valor absoluto de zero é zero.
Zero não tem sinal, então seu valor absoluto é ele mesmo.
Exemplo:
Passo 4
3. Valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos.
Ou seja, multiplicar dois números e depois tirar o valor absoluto dá o mesmo resultado que tirar o valor absoluto de cada número e depois multiplicar.
Exemplo:
Passo 5
4. Valor absoluto de um quociente é igual ao quociente dos valores absolutos.
Semelhante à propriedade do produto, mas com divisão.
Exemplo:
Passo 6
5. Valor absoluto de uma soma é menor ou igual à soma dos valores absolutos.
Isso é conhecido como a desigualdade triangular.
Exemplo:
Passo 7
6. Valor absoluto de uma diferença é maior ou igual à diferença dos valores absolutos.
Exemplo:
Passo 8
7. Valor absoluto de um produto de constantes com o mesmo sinal é o produto dos valores absolutos.
Se ambos os números têm o mesmo sinal, o valor absoluto do produto é o produto dos valores absolutos.
Exemplo:
Passo 9
8. Valor absoluto da média é a média dos valores absolutos.
Exemplo:
Passo 10
9. Valor absoluto de uma potência par é a potência do valor absoluto.
Se a potência é par, o resultado é sempre não negativo, então podemos tirar o valor absoluto antes de elevar.
Exemplo:
Passo 11
10. Valor absoluto de uma potência ímpar mantém o sinal.
Quando a potência é ímpar, o sinal original é mantido.
Exemplo:
Resposta
Aqui estão as 10 propriedades do valor absoluto com exemplos:
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Sempre não negativo: $ |x| \geq 0 $
- Exemplo: $ |-5| = 5 $
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Valor absoluto de zero: $ |0| = 0 $
- Exemplo: $ |0| = 0 $
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Produto: $ |x \cdot y| = |x| \cdot |y| $
- Exemplo: $ |-3||4| = | -12 | = 12 $
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Quociente: $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
- Exemplo: $ \left| \frac{-10}{2} \right| = 5 $
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Desigualdade Triangular (Soma): $ |x + y| \leq |x| + |y| $
- Exemplo: $ |3 + (-4)| = 1 \leq 7 $
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Desigualdade Triangular (Diferença): $ |x - y| \geq \left||x| - |y|\right| $
- Exemplo: $ |5 - 3| = 2 \geq 2 $
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Produto com Mesmo Sinal: $ |a \cdot b| = |a| \cdot |b| $
- Exemplo: $ |(-2) \cdot (-3)| = 6 $
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Média: $ \left|\frac{x + y}{2}\right| \leq \frac{|x| + |y|}{2} $
- Exemplo: $ \left|\frac{4 + (-6)}{2}\right| = 1 \leq 5 $
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Potência Par: $ |x|^{2n} = (|x|)^{2n} $
- Exemplo: $ |(-3)^2| = 9 $
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Potência Ímpar: $ |x|^{2n+1} = |x^{2n+1}| $
- Exemplo: $ |(-2)^3| = 8 $