Escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem no rededor do ponto
(0,0).
(b) f(x, y)=x e^{y}.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem ao redor do ponto (0,0) para a função
f(x,y)=x e^{y}.
Informações dadas relevantes:
f(x,y)=x e^{y}.
O ponto de expansão (centro) é (0,0).
Queremos as aproximações polinomiais de ordem 1 (linear) e de ordem 2 (quadrática) em torno desse ponto.

Passo 2

Recapitulando a fórmula de Taylor multivariada (com linguagem direta): se f é duas vezes diferenciável perto de (0,0), então a expansão de Taylor até a segunda ordem em torno de (0,0) pode ser escrita como
f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} +\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}H_f(0,0)\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} +o\big(\|(x,y)\|^{2}\big).
Aqui eu explico cada termo:
  • \nabla f(0,0) é o vetor gradiente em (0,0), ou seja as derivadas parciais primeiras avaliadas em (0,0).
  • H_f(0,0) é a matriz Hessiana em (0,0), isto é a matriz das derivadas parciais segundas:
H_f(0,0)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(0,0) & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0) & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(0,0) \end{pmatrix}.
  • O termo o(\|(x,y)\|^{2}) é o resto (pequeno) que é insignificante em comparação com \|(x,y)\|^{2} quando (x,y)\to(0,0).]

Passo 3

Calcular f(0,0). Usando a definição da função,
f(0,0)=0\cdot e^{0}=0.
Isso é o termo constante na expansão.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais primeiras (para obter o gradiente).
Derivamos \;f(x,y)=x e^{y}\; em relação a x e y:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{y},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x e^{y}.
Agora avaliamos em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=e^{0}=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0\cdot e^{0}=0.
Portanto o gradiente em (0,0) é
\nabla f(0,0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Compondo a parte linear (primeira ordem): a aproximação linear de f em torno de (0,0) é
f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =0+\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = x.
Então o polinômio de Taylor de primeira ordem (linear) ao redor de (0,0) é simplesmente
\text{(ordem 1)}\quad f(x,y)\approx x.]

Passo 6

Calcular as derivadas parciais segundas (para a Hessiana).
Derivadas segundas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=0,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\big)=e^{y},
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{y}\big)=x e^{y}.
Avaliamos em (0,0):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=0,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(0,0)=e^{0}=1,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0)=0\cdot e^{0}=0.
Como a Hessiana é simétrica, \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(0,0)=1 também. Então a matriz Hessiana é
H_f(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montar o termo quadrático \tfrac{1}{2}(x,y)H(x,y)^{T}. Vamos calcular explicitamente a forma quadrática:
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Primeiro multiplicamos a matriz pela coluna:
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y\\[4pt]x\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos à esquerda pelo vetor linha:
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\[4pt]x\end{pmatrix}=x y + y x = 2 x y.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} temos o termo quadrático:
\tfrac{1}{2}\cdot 2 x y = x y.
Portanto o polinômio de Taylor até a segunda ordem é a soma do termo constante, do linear e do quadrático:
\text{(ordem 2)}\quad f(x,y)\approx x + x y.]

Passo 8

Verificação rápida e intuição (cheque simples): como e^{y}=1+y+\tfrac{y^{2}}{2}+\cdots, temos
f(x,y)=x e^{y}=x\big(1+y+\tfrac{y^{2}}{2}+\cdots\big)=x + x y + \tfrac{x y^{2}}{2}+\cdots,
o que confirma que as aproximações de ordem 1 e 2 encontradas estão corretas (ordem 1: x; ordem 2: x+x y). Você pode usar essa expansão em provas como checagem rápida.

Resposta

\text{Ordem 1: } f(x,y)\approx x.
\text{Ordem 2: } f(x,y)\approx x + x y.

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