Escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem no rededor do ponto
(0,0).
(b) f(x, y)=x e^{y}.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem ao redor do ponto (0,0) para a função
f(x,y)=x e^{y}.
Informações dadas relevantes:
f(x,y)=x e^{y}.
O ponto de expansão (centro) é (0,0).
Queremos as aproximações polinomiais de ordem 1 (linear) e de ordem 2 (quadrática) em torno desse ponto.
Passo 2
Recapitulando a fórmula de Taylor multivariada (com linguagem direta): se f é duas vezes diferenciável perto de (0,0), então a expansão de Taylor até a segunda ordem em torno de (0,0) pode ser escrita como
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\[4pt]x\end{pmatrix}=x y + y x = 2 x y.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} temos o termo quadrático:
\tfrac{1}{2}\cdot 2 x y = x y.
Portanto o polinômio de Taylor até a segunda ordem é a soma do termo constante, do linear e do quadrático:
\text{(ordem 2)}\quad f(x,y)\approx x + x y.]
Passo 8
Verificação rápida e intuição (cheque simples): como e^{y}=1+y+\tfrac{y^{2}}{2}+\cdots, temos
f(x,y)=x e^{y}=x\big(1+y+\tfrac{y^{2}}{2}+\cdots\big)=x + x y + \tfrac{x y^{2}}{2}+\cdots,
o que confirma que as aproximações de ordem 1 e 2 encontradas estão corretas (ordem 1: x; ordem 2: x+x y). Você pode usar essa expansão em provas como checagem rápida.
Resposta
\text{Ordem 1: } f(x,y)\approx x. \text{Ordem 2: } f(x,y)\approx x + x y.