Escrever cada número dado para a base b (Justo, 2020; Exercício 2.1.7).
(1001,101)_{2} para a base b=16.

Passo 1

O enunciado pede: converter o número (1001,101)_2 (base binária) para a base b=16 (hexadecimal).\n
Informações dadas:
(1001,101)_2
e o objetivo é escrever esse mesmo número na base 16, ou seja, encontrar um número da forma (\dots,\dots)_{16} que represente o mesmo valor.

Passo 2

Ideia e regra que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
16 = 2^4
Isso significa que cada bloco de 4 bits (no sistema binário) corresponde exatamente a um dígito hexadecimal (valores de 0 a 15). Portanto, para converter diretamente de binário para hexadecimal:
  • Agrupamos os bits em blocos de 4 a partir do ponto radix: à esquerda (parte inteira) grouparamos em direção à esquerda; à direita (parte fracionária) grouparamos em direção à direita.
  • Se faltar bits no bloco da esquerda (parte inteira), acrescentamos zeros à esquerda do bloco. Se faltar bits no bloco da direita (parte fracionária), acrescentamos zeros à direita do bloco. Isso não altera o valor numérico, porque estamos só preenchendo posições de menor significância com zeros.
  • Cada bloco de 4 bits (b_3b_2b_1b_0)_2 tem valor
b_3\cdot 2^3 + b_2\cdot 2^2 + b_1\cdot 2^1 + b_0\cdot 2^0,
e esse valor é um inteiro entre 0 e 15, que corresponde ao dígito hexadecimal (para 10,11,12,13,14,15 usamos A,B,C,D,E,F).

Passo 3

Aplicando à parte inteira (1001)_2:
O bloco já tem 4 bits, então não precisamos de padding. Calculamos o valor do bloco:
1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.
Logo, o bloco (1001)_2 corresponde ao dígito hexadecimal \,9.

Passo 4

Aplicando à parte fracionária (,101)_2:
A parte fracionária tem 3 bits; precisamos de blocos de 4 bits, então acrescentamos um zero à direita (padding à direita) para completar 4 bits:
101 \longrightarrow 1010
Agora calculamos o valor do bloco (1010)_2 como inteiro:
1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10.
O inteiro 10 em hexadecimal é o dígito A. Como esse bloco está na posição fracionária, ele representa \dfrac{10}{16} no valor total, o que é coerente com a parte fracionária original:
(0,101)_2 = 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} + 2^{-3} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{5}{8} = 0{,}625,
e
\frac{10}{16} = 0{,}625,
confirmando que (,101)_2 corresponde a (,A)_{16}.

Passo 5

Montando a resposta final juntando parte inteira e fracionária:
a parte inteira (1001)_2 virou (9)_{16} e a parte fracionária (,101)_2 virou (,A)_{16}. Portanto o número completo em base 16 é
(9,A)_{16}.

Resposta

(9,A)_{16}

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