Escrever o conjunto em que a função dada é contínua:
f(x, y)=e^x sen y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de continuidade da função
f(x,y)=e^xsin y
O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e o fato de que a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Observamos que a função ymapstosin y é contínua em todo R, pois a função seno é contínua em seu domínio inteiro.
A seguir, consideramos a função (x,y)mapsto xsin y. Essa função é o produto da projeção (x,y)mapsto x (contínua em R^2) com a função sin y, logo também contínua em todo R^2.

Passo 3

Sabemos que a função exponencial tmapsto e^t (ou exp(t)) é contínua em todo R.
Por fim, f(x,y) é a composição
(x,y);xmapsto;xsin y;;t;xmapsto;e^t;;e^xsin y,
ou seja, a composição de funções contínuas em seus domínios. Como todas as etapas são definidas e contínuas em todo R^2, concluímos que f é contínua em todo esse mesmo conjunto.

Resposta

R^2

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