Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico das seguintes funções
f(x)=x^2raiz2-x

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=x^2raiz2-x
O conteúdo é análise de assíntotas: para as verticais, procuramos onde o denominador se anula (desde que o numerador não se anule de forma a cancelar); para as horizontais, calculamos os limites de f(x) quando xtopminfty.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio de f. Como aparece raiz2-x no denominador, precisamos de
2-x>=0 Longrightarrow x<=2,
e além disso raiz2-xneq0 não se exige para domínio, apenas sinal não negativo. Logo f está definida em (-infty,2).

Passo 3

Para assíntota vertical, verificamos onde o denominador se anula com numerador não anulando simultaneamente. Ocorre em x=2, pois
raiz2-xto0 e x^2to2^2=4neq0
Calculamos o limite lateral
limxto2^-f(x) =limxto2^-x^2raiz2-x =+infty,
pois o numerador tende a 4 e o denominador a 0^+. Portanto há assíntota vertical em
x=2

Passo 4

Para assíntota horizontal, analisamos xtopminfty. Como o domínio só vai até 2, só faz sentido xto -infty. Observamos
f(x) =x^2raiz2-x =x^2raiz-x,raiz1-2x =|x|^2|x|^1/2cdot1raiz1-2x =|x|^3/2,1raiz1-2x
Para xto-infty, |x|to+infty e raiz1-2/xto1, logo
limxto-inftyf(x)=+infty,
não existindo assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=2.
Não há assíntota horizontal.

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