Escrever a equação da reta que passa pelos pontos A(5,-1) e B(2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelos pontos A(5,-1) e B(2,3).
Informações fornecidas:
  • Coordenadas do ponto A: x_A=5, y_A=-1.
  • Coordenadas do ponto B: x_B=2, y_B=3.

Passo 2

Para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos usamos duas ideias básicas:
  1. Coeficiente angular (declive) m: é a razão entre a variação em y e a variação em x entre os dois pontos. A fórmula é
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},
onde x_A,y_A e x_B,y_B são as coordenadas dos pontos A e B.
  1. Forma ponto-declive da reta: se a reta tem coeficiente angular m e passa por um ponto (x_1,y_1), sua equação é
y-y_1=m(x-x_1).
Também é comum transformar para a forma inclinada (slope-intercept) y=mx+b, onde b é o intercepto em y. Para achar b basta substituir um ponto conhecido na equação y=mx+b e resolver para b.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular m usando os pontos dados:
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-(-1)}{2-5}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}.

Passo 4

Usar a forma ponto-declive com o ponto A(5,-1) e m=-\dfrac{4}{3}:
y-(-1)=-\frac{4}{3}(x-5).
Simplificando:
y+1=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}.
Isolando y para obter a forma y=mx+b:
y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}-1.
Calcular o termo constante:
\frac{20}{3}-1=\frac{20}{3}-\frac{3}{3}=\frac{17}{3}.
Logo a equação em forma inclinada é
y=-\frac{4}{3}x+\frac{17}{3}.
Também é útil dar a forma inteira (forma geral). Multiplicando ambos os lados por 3:
3y=-4x+17.
Rearranjando:
4x+3y=17.

Passo 5

Verificação rápida: verificar que o ponto B(2,3) satisfaz a equação y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{17}{3}.
Substituindo x=2:
y=-\frac{4}{3}\cdot 2+\frac{17}{3}=-\frac{8}{3}+\frac{17}{3}=\frac{9}{3}=3,
coincide com y_B=3. Então está correto.

Passo 6

Resumo didático rápido (para a prova): calcule primeiro o declive m com \displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Depois use y-y_1=m(x-x_1) e transforme para a forma desejada. Sempre verifique substituindo o outro ponto.

Resposta

y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{17}{3}
4x+3y=17

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