Escrever as equações que determinam a região de integração das integrais duplas abaixo e desenhar estas regiões:
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas: (i) escrever as equações/inequações que determinam a região de integração e (ii) desenhar (descrever) essa região. As informações relevantes que o enunciado fornece são os limites externos
e, para cada
fixo,
vai de
até
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos traduzir os limites da integral em uma descrição do conjunto de pontos
no plano. A condição “
vai de
a
” é, em desigualdade,
A condição “
vai de
até
” é
Juntando, a região
é
Isto já responde a parte (i): as equações/inequações que determinam a região são exatamente essas.
Passo 3
Agora vamos entender geometricamente essas curvas que limitam
. As fronteiras do domínio são:
Calculemos os pontos extremos (valores de
nas verticals) avaliando as retas em
e
:
Portanto os vértices da região (no sentido do contorno) são os pontos
Passo 4
Um detalhe útil: as duas retas
e
intersectam em
(resolver
dá
), mas esse ponto não pertence à nossa região porque
está entre
e
. Então, dentro da faixa
, as duas retas formam duas curvas “paralelas” que delimitam o lado horizontal do domínio.
Passo 5
Para “desenhar” mentalmente: marque no plano os pontos
e
ligados verticalmente; marque
e
ligados verticalmente; depois ligue
a
pela reta
e ligue
a
pela reta
. O resultado é um quadrilátero não paralelo aos eixos, com lados verticais em
e
e dois lados inclinados dados pelas retas indicadas. (Se quiser riscar num papel: desenhe as retas
e
, faça as verticais
e sombreie o quadrilátero entre elas.)
Passo 6
É comum também reescrever a integral trocando a ordem de integração (integrar primeiro em
e depois em
). Para fazer isso, descrevemos
como conjunto de
e, para cada
, os
que satisfazem as desigualdades. A partir de
isolamos
:
Também lembramos
. Assim, para um
fixo,
deve satisfazer
Agora precisamos achar o intervalo de
para o qual essa faixa de
é não-vazia. Observando os valores extremos já encontrados,
varia globalmente entre
Mas, como os limites em
dependem de
, convém dividir o intervalo de
em partes onde
e
são cada uma as mesmas expressões. Comparações importantes:
Isso leva a três faixas em
:
-
Para
: temos e , então -
Para
: temos e , então -
Para
: temos e , então
Passo 7
Portanto a integral com ordem trocada (integrar
primeiro) fica como soma de três integrais:
Isto é útil na prática quando se precisa calcular ou estimar integrais e a troca de ordem simplifica a avaliação.
Resposta
Vértices do quadrilátero que descreve a região:
.