Escrever as equações que determinam a região de integração das integrais duplas abaixo e desenhar estas regiões:
\int_{1}^{3} \int_{\frac{x}{3}}^{2 x} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{1}^{3}\int_{\frac{x}{3}}^{2x} f(x,y)\,dy\,dx
e pede duas coisas: (i) escrever as equações/inequações que determinam a região de integração e (ii) desenhar (descrever) essa região. As informações relevantes que o enunciado fornece são os limites externos x\in[1,3] e, para cada x fixo, y vai de y=\dfrac{x}{3} até y=2x. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos traduzir os limites da integral em uma descrição do conjunto de pontos (x,y) no plano. A condição “ x vai de 1 a 3” é, em desigualdade,
1 \le x \le 3.
A condição “ y vai de \dfrac{x}{3} até 2x” é
\frac{x}{3} \le y \le 2x.
Juntando, a região R é
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\\ \frac{x}{3}\le y\le 2x\}.
Isto já responde a parte (i): as equações/inequações que determinam a região são exatamente essas.

Passo 3

Agora vamos entender geometricamente essas curvas que limitam R. As fronteiras do domínio são:
y=\frac{x}{3}\quad(\text{reta com inclinação }1/3),çã
y=2x\quad(\text{reta com inclinação }2),çã
x=1\quad(\text{reta vertical}),
x=3\quad(\text{reta vertical}).
Calculemos os pontos extremos (valores de y nas verticals) avaliando as retas em x=1 e x=3:
\text{em }x=1:\quad y=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad y=2,
\text{em }x=3:\quad y=1\quad\text{e}\quad y=6.
Portanto os vértices da região (no sentido do contorno) são os pontos
(1,\tfrac{1}{3}),\quad (1,2),\quad (3,1),\quad (3,6).

Passo 4

Um detalhe útil: as duas retas y=\dfrac{x}{3} e y=2x intersectam em (0,0) (resolver \dfrac{x}{3}=2x x=0), mas esse ponto não pertence à nossa região porque x está entre 1 e 3. Então, dentro da faixa 1\le x\le3, as duas retas formam duas curvas “paralelas” que delimitam o lado horizontal do domínio.

Passo 5

Para “desenhar” mentalmente: marque no plano os pontos (1,\tfrac{1}{3}) e (1,2) ligados verticalmente; marque (3,1) e (3,6) ligados verticalmente; depois ligue (1,\tfrac{1}{3}) a (3,1) pela reta y=\dfrac{x}{3} e ligue (1,2) a (3,6) pela reta y=2x. O resultado é um quadrilátero não paralelo aos eixos, com lados verticais em x=1 e x=3 e dois lados inclinados dados pelas retas indicadas. (Se quiser riscar num papel: desenhe as retas y=\tfrac{x}{3} e y=2x, faça as verticais x=1,x=3 e sombreie o quadrilátero entre elas.)

Passo 6

É comum também reescrever a integral trocando a ordem de integração (integrar primeiro em x e depois em y). Para fazer isso, descrevemos R como conjunto de y e, para cada y, os x que satisfazem as desigualdades. A partir de
\frac{x}{3}\le y\le 2x
isolamos x:
y\ge \frac{x}{3}\\ \Longrightarrow\\ x\le 3y,
y\le 2x\\ \Longrightarrow\\ x\ge \frac{y}{2}.
Também lembramos 1\le x\le 3. Assim, para um y fixo, x deve satisfazer
\max\!\left(1,\frac{y}{2}\right)\le x\le \min\!\left(3,3y\right).
Agora precisamos achar o intervalo de y para o qual essa faixa de x é não-vazia. Observando os valores extremos já encontrados, y varia globalmente entre
y_{\min}=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad y_{\max}=6.
Mas, como os limites em x dependem de y, convém dividir o intervalo de y em partes onde \max e \min são cada uma as mesmas expressões. Comparações importantes:
\frac{y}{2}\le 1 \iff y\le 2,
3y\ge 3 \iff y\ge 1.
Isso leva a três faixas em y:
  • Para \dfrac{1}{3}\le y\le 1: temos \dfrac{y}{2}\le 1 e 3y\le 3, então
    1\le x\le 3y.
  • Para 1\le y\le 2: temos \dfrac{y}{2}\le 1 e 3y\ge 3, então
    1\le x\le 3.
  • Para 2\le y\le 6: temos \dfrac{y}{2}\ge 1 e 3y\ge 3, então
    \frac{y}{2}\le x\le 3.

Passo 7

Portanto a integral com ordem trocada (integrar x primeiro) fica como soma de três integrais:
\int_{y=\tfrac{1}{3}}^{1}\int_{x=1}^{3y} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{y=1}^{2}\int_{x=1}^{3} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{y=2}^{6}\int_{x=\tfrac{y}{2}}^{3} f(x,y)\,dx\,dy.
Isto é útil na prática quando se precisa calcular ou estimar integrais e a troca de ordem simplifica a avaliação.

Resposta

R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,\\ \dfrac{x}{3}\le y\le 2x\}
\displaystyle \int_{1}^{3}\int_{\frac{x}{3}}^{2x} f(x,y)\,dy\,dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1}\int_{1}^{3y} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{1}^{2}\int_{1}^{3} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{2}^{6}\int_{\frac{y}{2}}^{3} f(x,y)\,dx\,dy
Vértices do quadrilátero que descreve a região: \left(1,\tfrac{1}{3}\right),\\ \left(1,2\right),\\ \left(3,1\right),\\ \left(3,6\right).

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