Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante de 10 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{s}. Entre o pistão e o cilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática 10^{-3} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e peso específico 900 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}. Se o diâmetro do pistão é de 10 cm , seu comprimento é de 5 cm e o diâmetro do cilindro é de 10,2 cm, obter: (a) o peso do pistão em unidades MKS, e (b) o erro percentual cometido ao assumir o perfil de velocidades do óleo linear entre o pistão e o cilindro. Dado \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo que vou usar depois; já peguei estes números do enunciado):
O problema pede:
(a) o peso do pistão em unidades MKS (ou seja, o peso em newtons);
(b) o erro percentual ao assumir que o perfil de velocidades do óleo entre pistão e cilindro é linear.
Dados do enunciado:
velocidade do pistão: U=\dfrac{10}{\pi}\\ \mathrm{m/s};
viscosidade cinemática do óleo: \nu=10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/s};
peso específico do óleo: 900\\ \mathrm{kgf/m^{3}};
diâmetro do pistão: D_{p}=0,10\\ \mathrm{m};
comprimento (altura) do pistão na região de filme: L=0,05\\ \mathrm{m};
diâmetro interno do cilindro: D_{c}=0,102\\ \mathrm{m};
gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Quantidades geométricas que vou usar:
raio do pistão: R_{p}=\dfrac{D_{p}}{2};
raio do cilindro: R_{c}=\dfrac{D_{c}}{2};
espessura do filme (folga radial): h=R_{c}-R_{p}=\dfrac{D_{c}-D_{p}}{2}.
Passo 2
Converter os dados físicos para as quantidades que usamos em mecânica dos fluidos (densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu) e calcular as dimensões numéricas.
O enunciado deu o peso específico em \mathrm{kgf/m^{3}}. Em notação: peso específico \gamma=900\\ \mathrm{kgf/m^{3}}. Como 1\\ \mathrm{kgf}=g\\ \mathrm{N} e \gamma=\rho g, a densidade \rho em \mathrm{kg/m^{3}} é simplesmente
Calcular o peso assumindo perfil linear de velocidades (aproximação de Couette entre placas paralelas). Explicação didática do modelo:
Quando o filme é muito fino (h\ll R_{p}) e não há variação de pressão axial significativa, uma aproximação simples é tratar a camada como escoamento de Couette entre duas superfícies paralelas: a superfície do pistão desloca-se à velocidade U e a parede do cilindro está fixa. No escoamento de Couette puro, o perfil de velocidade é linear, então a taxa de deformação (gradiente de velocidade) é aproximadamente \dfrac{U}{h}.
A tensão cortante (shear stress) no fluido é dada pela lei de Newton para fluidos newtonianos:
\tau=\mu\frac{U}{h},
onde \tau é a tensão tangencial (em \mathrm{Pa}), \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{Pa\cdot s}), U é a velocidade relativa (em \mathrm{m/s}) e h é a distância entre superfícies (em \mathrm{m}).
Força viscosa total que retarda o pistão é F_{v}=\tau A. Em regime de queda com velocidade constante, soma das forças verticais é zero, logo o peso do pistão W (força peso em newtons) é equilibrado pela força viscosa:
W = F_{v} = \tau A = \mu\frac{U}{h}A.
Substituindo os números (vou simplificar algebricamente antes de calcular):
Comentário físico rápido: é conveniente quando a simplificação dá um cancelamento bonito — aqui a dependência em \pi some e o resultado é um número redondo.
Passo 4
Agora calcular o resultado exato para o perfil de velocidade entre cilindros coaxiais (perfil logarítmico) e comparar para obter o erro percentual. Explicação teórica do modelo exato:
Para escoamento axial estacionário, sem variação no sentido axial das propriedades e sem gradiente de pressão axial (pressão uniforme axialmente), a equação de equilíbrio (forma reduzida da equação de Stokes/Newton para o componente axial) em coordenadas cilíndricas leva a