1. Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante de 10 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{s}. Entre o pistão e o cilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática 10^{-3} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e peso específico 900 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}. Se o diâmetro do pistão é de 10 cm , seu comprimento é de 5 cm e o diâmetro do cilindro é de 10,2 cm, obter: (a) o peso do pistão em unidades MKS, e (b) o erro percentual cometido ao assumir o perfil de velocidades do óleo linear entre o pistão e o cilindro. Dado \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo que vou usar depois; já peguei estes números do enunciado):
  • O problema pede:
    (a) o peso do pistão em unidades MKS (ou seja, o peso em newtons);
    (b) o erro percentual ao assumir que o perfil de velocidades do óleo entre pistão e cilindro é linear.
  • Dados do enunciado:
    • velocidade do pistão: U=\dfrac{10}{\pi}\\ \mathrm{m/s};
    • viscosidade cinemática do óleo: \nu=10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/s};
    • peso específico do óleo: 900\\ \mathrm{kgf/m^{3}};
    • diâmetro do pistão: D_{p}=0,10\\ \mathrm{m};
    • comprimento (altura) do pistão na região de filme: L=0,05\\ \mathrm{m};
    • diâmetro interno do cilindro: D_{c}=0,102\\ \mathrm{m};
    • gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Quantidades geométricas que vou usar:
    • raio do pistão: R_{p}=\dfrac{D_{p}}{2};
    • raio do cilindro: R_{c}=\dfrac{D_{c}}{2};
    • espessura do filme (folga radial): h=R_{c}-R_{p}=\dfrac{D_{c}-D_{p}}{2}.

Passo 2

Converter os dados físicos para as quantidades que usamos em mecânica dos fluidos (densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu) e calcular as dimensões numéricas.
  • O enunciado deu o peso específico em \mathrm{kgf/m^{3}}. Em notação: peso específico \gamma=900\\ \mathrm{kgf/m^{3}}. Como 1\\ \mathrm{kgf}=g\\ \mathrm{N} e \gamma=\rho g, a densidade \rho em \mathrm{kg/m^{3}} é simplesmente
\rho=\frac{\gamma}{g}=\frac{900\\ \mathrm{kgf/m^{3}}\times 9{,}8\\ \mathrm{N/kgf}}{9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(isto é, num caso com g usado como 9{,}8, o número em \mathrm{kgf/m^{3}} coincide numericamente com \rho em \mathrm{kg/m^{3}}.)
  • A viscosidade dinâmica \mu relaciona-se com a viscosidade cinemática \nu por \mu=\rho\,\nu. Assim:
\mu=\rho\,\nu=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/s}=0{,}9\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Geometria (valores numéricos):
R_{p}=\frac{0{,}10}{2}=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad R_{c}=\frac{0{,}102}{2}=0{,}051\\ \mathrm{m},
h=R_{c}-R_{p}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • Área lateral do pistão (onde atua a tensão cortante):
A=\text{circunferência}\times L=(\pi D_{p})L=\pi D_{p}L=\pi(0{,}10)(0{,}05)=\pi(0{,}005)=0{,}0157079\\ \mathrm{m^{2}}.ê

Passo 3

Calcular o peso assumindo perfil linear de velocidades (aproximação de Couette entre placas paralelas). Explicação didática do modelo:
  • Quando o filme é muito fino ( h\ll R_{p}) e não há variação de pressão axial significativa, uma aproximação simples é tratar a camada como escoamento de Couette entre duas superfícies paralelas: a superfície do pistão desloca-se à velocidade U e a parede do cilindro está fixa. No escoamento de Couette puro, o perfil de velocidade é linear, então a taxa de deformação (gradiente de velocidade) é aproximadamente \dfrac{U}{h}.
  • A tensão cortante (shear stress) no fluido é dada pela lei de Newton para fluidos newtonianos:
\tau=\mu\frac{U}{h},
onde \tau é a tensão tangencial (em \mathrm{Pa}), \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{Pa\cdot s}), U é a velocidade relativa (em \mathrm{m/s}) e h é a distância entre superfícies (em \mathrm{m}).
  • Força viscosa total que retarda o pistão é F_{v}=\tau A. Em regime de queda com velocidade constante, soma das forças verticais é zero, logo o peso do pistão W (força peso em newtons) é equilibrado pela força viscosa:
W = F_{v} = \tau A = \mu\frac{U}{h}A.
  • Substituindo os números (vou simplificar algebricamente antes de calcular):
W=\mu\frac{U}{h}A =\mu\frac{U}{h}\big(\pi D_{p}L\big).
Note que h=\dfrac{D_{c}-D_{p}}{2}. No caso numérico:
\mu=0{,}9,\quad U=\frac{10}{\pi},\quad h=0{,}001,\quad \pi D_{p}L=\pi(0{,}10)(0{,}05)=0{,}005\pi.
Logo
W=0{,}9\cdot\frac{10/\pi}{0{,}001}\cdot(0{,}005\pi).
Reorganizando, o fator \pi cancela:
W=0{,}9\cdot\frac{10}{0{,}001}\cdot 0{,}005 =0{,}9\cdot 10000\cdot 0{,}005.
Calcule passo a passo:
10000\cdot 0{,}005=50,
0{,}9\cdot 50=45.
Portanto
W=45\\ \mathrm{N}.
  • Comentário físico rápido: é conveniente quando a simplificação dá um cancelamento bonito — aqui a dependência em \pi some e o resultado é um número redondo.

Passo 4

Agora calcular o resultado exato para o perfil de velocidade entre cilindros coaxiais (perfil logarítmico) e comparar para obter o erro percentual. Explicação teórica do modelo exato:
  • Para escoamento axial estacionário, sem variação no sentido axial das propriedades e sem gradiente de pressão axial (pressão uniforme axialmente), a equação de equilíbrio (forma reduzida da equação de Stokes/Newton para o componente axial) em coordenadas cilíndricas leva a
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dv}{dr}\right)=0,
onde v(r) é a velocidade axial como função do raio r.
  • Integrando duas vezes obtemos a solução geral
v(r)=C_{1}\ln r + C_{2},
com constantes C_{1},C_{2}. Aplicando as condições de contorno:
v(R_{p})=U,\qquad v(R_{c})=0,
obtemos subtraindo as equações:
C_{1}\ln\!\left(\frac{R_{p}}{R_{c}}\right)=U\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{U}{\ln(R_{p}/R_{c})}=\frac{-U}{\ln(R_{c}/R_{p})}.
  • O gradiente radial de velocidade é
\frac{dv}{dr}=\frac{C_{1}}{r}.
A tensão cortante no pistão (superfície interna, r=R_{p}) é
\tau_{\text{ex}}=\mu\left.\frac{dv}{dr}\right|_{r=R_{p}}=\mu\frac{C_{1}}{R_{p}}.
Substituindo C_{1},
\tau_{\text{ex}}=\mu\frac{U}{R_{p}\ln(R_{p}/R_{c})}=\mu\frac{U}{R_{p}\big(-\ln(R_{c}/R_{p})\big)}=\mu\frac{U}{R_{p}}\frac{1}{\ln(R_{c}/R_{p})}.
Como \ln(R_{c}/R_{p})>0, podemos escrever:
\tau_{\text{ex}}=\mu\frac{U}{R_{p}\ln\!\left(\dfrac{R_{c}}{R_{p}}\right)}.

Passo 5

Calcular numericamente a tensão e a força exatas, e o erro percentual.
  • Primeiro, calcule \ln(R_{c}/R_{p}):
\frac{R_{c}}{R_{p}}=\frac{0{,}051}{0{,}05}=1{,}02,\qquad \ln\!\left(1{,}02\right)\approx 0{,}0198026.
  • Calcular \tau_{\text{ex}}:
\tau_{\text{ex}}=\frac{\mu U}{R_{p}\ln(R_{c}/R_{p})} =\frac{0{,}9\cdot(10/\pi)}{0{,}05\cdot 0{,}0198026}.
Avaliação numérica (passo a passo):
\text{numerador}=0{,}9\cdot\frac{10}{\pi}\approx 2{,}864789,
\text{denominador}=0{,}05\cdot 0{,}0198026\approx 0{,}00099013,
\tau_{\text{ex}}\approx\frac{2{,}864789}{0{,}00099013}\approx 2893{,}86\\ \mathrm{Pa}.
  • A força viscosa exata é
F_{\text{ex}}=\tau_{\text{ex}}A\approx 2893{,}86\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}0157079\\ \mathrm{m^{2}}\approx 45{,}46\\ \mathrm{N}.
(Obs.: com a aproximação linear obtivemos W_{\text{lin}}=45\\ \mathrm{N}.)
  • Erro percentual cometido pela hipótese linear (tomando a solução exata como referência) é
\text{erro}=\frac{W_{\text{lin}}-W_{\text{ex}}}{W_{\text{ex}}}\times 100\%.
Substituindo valores:
\text{erro}=\frac{45-45{,}46}{45{,}46}\times 100\%\approx -1{,}00\%.
O sinal negativo indica que a aproximação linear subestima o peso real em cerca de 1{,}00\%. Em módulo, o erro percentual é aproximadamente 1{,}00\%.

Resposta

(a) 45\\ \mathrm{N}
(b) 1{,}00\%

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