Escrever de forma explicita as funções y, dadas pelas equações:
x+|y|=2 y.
Achar os campos de definição de dadas funções implícitas.

Passo 1

O enunciado pede resolver explicitamente a equação
x + |y| = 2y
para y e determinar os campos de definição (domínios) das funções obtidas. Vamos usar o procedimento de quebra em casos por causa do valor absoluto.

Passo 2

Reconhecemos que
|y| = y, & y >= 0, -,y, & y < 0
Logo, precisamos estudar separadamente esses dois casos.

Passo 3

Caso y >= 0: substituindo |y| = y em
x + |y| = 2y
vem
x + y = 2y Longrightarrow x = y Longrightarrow y = x
Para manter y >= 0 exige-se x >= 0. Assim obtemos a solução
y(x) = x com domínio x in [0,infty) í

Passo 4

Caso y < 0: substituindo |y| = -y em
x + |y| = 2y
vem
x - y = 2y Longrightarrow x = 3y Longrightarrow y = x3
Para manter y < 0 exige-se tfracx3 < 0, ou seja, x < 0. Logo a solução é
y(x) = x3 com domínio x in (-infty,0) í

Passo 5

Note que em x=0 ambos os ramos dão y=0. Podemos, portanto, reunir a solução em forma de função definida por partes:
y(x)= dfracx3, & x<0,[6pt] x, & x>=0 ]

Resposta

No ramo x<0:
y(x)=x3,domínio (-infty,0) í
No ramo x>=0:
y(x)=x,domínio [0,infty) í

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