Escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem no rededor do ponto
(0,0).
(a) f(x, y)=(x+y)^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a fórmula de Taylor de primeira e segunda ordem em torno do ponto (0,0) para a função f(x,y)=(x+y)^{3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=(x+y)^{3}.
  • O ponto de desenvolvimento (centro) é (0,0).
  • Precisamos obter o polinômio de Taylor de ordem 1 (aproximação linear) e de ordem 2 (aproximação quadrática) em torno de (0,0).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral (de forma simples e didática) para Taylor em duas variáveis em torno de um ponto a=(a_1,a_2).
  • Aproximação de primeira ordem (linear):
T_1(x,y)=f(a)+\nabla f(a)\cdot \bigl((x-a_1),(y-a_2)\bigr),
onde \nabla f(a) = \bigl(\partial_{x}f(a),\partial_{y}f(a)\bigr) é o gradiente e o produto \nabla f(a)\cdot((x-a_1),(y-a_2)) é a soma dos produtos componente a componente.
Explicando cada coisa: \partial_{x}f é a derivada parcial de f em relação a x (segurando y fixo) e \partial_{y}f é a derivada parcial em relação a y. O termo f(a) é o valor da função no ponto de expansão.
  • Aproximação de segunda ordem (quadrática):
T_2(x,y)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\tfrac{1}{2}\,h^{T}Hf(a)\,h,
onde h=\bigl(x-a_1,\;y-a_2\bigr)^{T} e Hf(a) é a matriz Hessiana em a, ou seja
Hf(a)=\begin{pmatrix} \partial_{xx}f(a) & \partial_{xy}f(a)\\[4pt] \partial_{yx}f(a) & \partial_{yy}f(a) \end{pmatrix}.
O termo h^{T}Hf(a)\,h é uma forma quadrática que dá o termo de segunda ordem da expansão.
Agora vamos aplicar essas fórmulas ao nosso caso com a=(0,0).]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=(x+y)^{3}.
Uma maneira clara: defina u=x+y, então f(u)=u^{3}. Pela regra da cadeia:
  • Derivadas de primeira ordem:
\partial_{x}f(x,y)=3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=3(x+y)^{2},
\partial_{y}f(x,y)=3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=3(x+y)^{2}.
Expliquei: como u=x+y, \partial u/\partial x=1 e \partial u/\partial y=1, daí aparece o mesmo resultado para \partial_x e \partial_y.
  • Derivadas de segunda ordem: derivamos novamente:
\partial_{xx}f(x,y)=\partial_{x}\bigl(3(x+y)^{2}\bigr)=6(x+y),
\partial_{xy}f(x,y)=\partial_{y}\bigl(3(x+y)^{2}\bigr)=6(x+y),
\partial_{yy}f(x,y)=\partial_{y}\bigl(3(x+y)^{2}\bigr)=6(x+y).
Observe que \partial_{xy}f=\partial_{yx}f, como esperado (derivadas mistas iguais, função suave).

Passo 4

Avaliar todas essas derivadas no ponto (0,0).
  • Primeiro o valor da função:
f(0,0)=(0+0)^{3}=0.
  • Gradiente em (0,0):
\partial_{x}f(0,0)=3(0+0)^{2}=0,\qquad \partial_{y}f(0,0)=3(0+0)^{2}=0,
logo \nabla f(0,0)=(0,0).
  • Hessiana em (0,0):
\partial_{xx}f(0,0)=6(0+0)=0,\quad \partial_{xy}f(0,0)=6(0+0)=0,\quad \partial_{yy}f(0,0)=6(0+0)=0.
Logo
Hf(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar os polinômios de Taylor usando os valores encontrados.
  • Primeira ordem (linear), com a=(0,0) e h=(x,y):
T_1(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot (x,y)=0+(0,0)\cdot (x,y)=0.
Então a aproximação linear é zero — isto acontece porque todas as derivadas de primeira ordem no ponto são zero.
  • Segunda ordem (quadrática):
T_2(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot (x,y)+\tfrac{1}{2}(x,y)\,Hf(0,0)\,(x,y)^{T}.
Mas como \nabla f(0,0)=(0,0) e Hf(0,0) é a matriz zero, todos os termos somam zero:
T_2(x,y)=0.
Explicação intuitiva: a função (x+y)^{3} é homogênea de grau 3, ou seja, todos os termos na sua expansão são de grau 3. Não há termos de grau 0,1 ou 2; por isso as aproximações de ordem 1 e 2 ao redor da origem são identicamente zero.

Passo 6

Para reforçar a intuição, desenvolvendo (x+y)^{3} em monômios:
(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},
todos os termos são de grau 3. Assim qualquer polinômio truncado de grau menor que 3 (ordem 1 ou 2) será 0.

Resposta

T_{1}(x,y)=0
T_{2}(x,y)=0

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