Escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem no rededor do ponto
(0,0).
(a)
.
(0,0).
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a fórmula de Taylor de primeira e segunda ordem em torno do ponto
para a função
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de desenvolvimento (centro) é
. - Precisamos obter o polinômio de Taylor de ordem
(aproximação linear) e de ordem (aproximação quadrática) em torno de .
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral (de forma simples e didática) para Taylor em duas variáveis em torno de um ponto
.
- Aproximação de primeira ordem (linear):
onde
é o gradiente e o produto
é a soma dos produtos componente a componente.
Explicando cada coisa:
é a derivada parcial de
em relação a
(segurando
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
. O termo
é o valor da função no ponto de expansão.
- Aproximação de segunda ordem (quadrática):
onde
e
é a matriz Hessiana em
, ou seja
O termo
é uma forma quadrática que dá o termo de segunda ordem da expansão.
Agora vamos aplicar essas fórmulas ao nosso caso com
.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Uma maneira clara: defina
, então
. Pela regra da cadeia:
- Derivadas de primeira ordem:
Expliquei: como
,
e
, daí aparece o mesmo resultado para
e
.
- Derivadas de segunda ordem: derivamos novamente:
Observe que
, como esperado (derivadas mistas iguais, função suave).
Passo 4
Avaliar todas essas derivadas no ponto
.
- Primeiro o valor da função:
- Gradiente em
:
logo
.
- Hessiana em
:
Logo
Passo 5
Montar os polinômios de Taylor usando os valores encontrados.
- Primeira ordem (linear), com
e :
Então a aproximação linear é zero — isto acontece porque todas as derivadas de primeira ordem no ponto são zero.
- Segunda ordem (quadrática):
Mas como
e
é a matriz zero, todos os termos somam zero:
Explicação intuitiva: a função
é homogênea de grau
, ou seja, todos os termos na sua expansão são de grau
. Não há termos de grau
ou
; por isso as aproximações de ordem
e
ao redor da origem são identicamente zero.
Passo 6
Para reforçar a intuição, desenvolvendo
em monômios:
todos os termos são de grau
. Assim qualquer polinômio truncado de grau menor que
(ordem
ou
) será
.